Metody numeryczne - wykład

Nasza ocena:

3
Pobrań: 112
Wyświetleń: 525
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Metody numeryczne  - wykład - strona 1 Metody numeryczne  - wykład - strona 2 Metody numeryczne  - wykład - strona 3

Fragment notatki:

WYKŁAD 1
WPROWADZENIE DO METOD NUMERYCZNYCH
POJĘCIE METOD NUMERYCZNYCH
Metody numeryczne są działem matematyki stosowanej, zajmującym się opracowywaniem metod
przybli onego rozwiązywania skomplikowanych zagadnień ma-tematycznych, których rozwiązanie
metodami ścisłymi byłoby nadzwyczaj trudne lub wręcz niemo liwe.
Podstawowe cechy metod numerycznych:
- obiektami działań są liczby,
- mają na ogół charakter przybli ony,
- ka da z metod numerycznych musi prowadzić do realizacji skończonego ciągu operacji
elementarnych, poniewa zarówno pamięć komputera ma skończoną pojemność, jak i liczba
operacji dających się przeprowadzić w jednostce czasu jest skończona. Wynika stąd, e układy
fizyczne badane metodami obliczeniowymi muszą być reprezentowane przez dyskretne, skończone
modele matematyczne.
Metody numeryczne, jako dyscyplina nauki, powstawały niezale nie od środków technicznych
wspomagających obliczenia, jednak e obecny ich rozwój był i jest mo liwy przede wszystkim dzięki
dynamicznemu rozwojowi szybkich elektronicznych maszyn cyfrowych.
Zastosowanie metod numerycznych mo e dostarczyć informacji o zjawiskach, których badanie
eksperymentalne jest bardzo trudne lub wręcz niemo liwe np. badanie struktury gwiazd, badanie
syntezy termojądrowej, badanie obiektów latających i pływających.
ANALIZA BŁĘDÓW
Ze względu na fakt, e rozwiązania zagadnień otrzymanych przy wykorzystaniu metod numerycznych są
rozwiązaniami przybli onymi - niezwykle istotny jest problem badania błędów obliczeń, a oszacowanie
wielkości błędów powinno być nie-odłącznym elementem ka dych obliczeń.
Przybli ony charakter rozwiązań numerycznych jest spowodowany występowaniem następujących
rodzajów błędów:
-
opisu problemu,
obcięcia,
początkowych,
zaokrągleń.
Błędy opisu problemu pojawiają się wówczas, gdy przyjęty model fizyczny jest jedynie przybli eniem
zjawiska rzeczywistego lub wtedy gdy sformułowane zadanie obliczeniowe jest zbyt skomplikowane
i zastępuje się je zadaniem uproszczonym.
Błędy obcięcia, nazywane tak e błędami metody, wynikają przewa nie z zastąpienia działań
nieskończonych lub działań na wielkościach nieskończenie małych przybli onymi działaniami
skończonymi.
Przykładami powstawania tego rodzaju błędów są:
1) obliczanie wartości funkcji elementarnej (np. e x ) za pomocą N początkowych wyrazów szeregu
Taylora,
2) zastąpienie całki funkcji sumą skończoną wartości funkcji,
3) rozwiązywanie zagadnień metodami kolejnych przybli eń, które dają na ogół rozwiązanie nie
obarczone błędem tylko w granicy, gdy liczba iteracji dą y do nie-skończoności,
4) rozwiązywanie zagadnień opisywanych równaniami ró niczkowymi metodą ró nic skończonych,
polegającą na przybli aniu pochodnych ilorazami ró nicowymi.
Błędy początkowe (błędy danych wejściowych) powstają wówczas, gdy w obliczeniach jako danych
u ywamy wielkości uzyskanych z pomiarów oraz zaokrąglonych stałych matematycznych i liczb
niewymiernych np. π = 3.1416, 2 = 1.414.
Źródłem błędów zaokrągleń jest niedokładna

(…)

… trzeba wy-konać wiele tysięcy lub nawet milionów działań arytmetycznych,
z których ka de jest wykonywane na liczbach zaokrąglonych.
ALGORYTM OBLICZEŃ
Wykonanie obliczeń numerycznych jest zadaniem polegającym na wyznaczeniu wektora wyników
W dla znanego wektora danych D. Istotne jest przy tym, aby sformułowane zadanie było dobrze
postawione, tzn. eby dla przyjętego wektora danych D wektor wyników…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz