To tylko jedna z 11 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Statystyka matematyczna i planowanie...
18. METODY ANALIZY WSPÓŁZALEŻNOŚCI
Typy zależności:
♦ funkcyjna: zmiana wartości jednej zmiennej powoduje ściśle
określoną zmianę drugiej zmiennej (jednej zmiennej X odpowiada
tylko jedna wartość drugiej zmiennej Y), np. pole kwadratu
♦ stochastyczna: ze zmianą jednej zmiennej zmienia się rozkład
prawdopodobieństwa drugiej zmiennej
Zależność korelacyjna: szczególny przypadek zależności
stochastycznej.
Polega na tym, że określonym wartościom jednej zmiennej
odpowiadają ściśle określone średnie wartości drugiej zmiennej.
Wykład 6/ 1
Statystyka matematyczna i planowanie...
Typy zależności korelacyjnej:
a)
b)
c)
d)
korelacja liniowa dodatnia
korelacja liniowa ujemna
korelacja krzywoliniowa
brak korelacji
Kowariancja
cov(x, y) = cov(y, x) −
1
∑ (xi − x )(yi − y ) = x ⋅ y − x ⋅ y
n
Wykład 6/ 2
Statystyka matematyczna i planowanie...
Współczynnik korelacji liniowej Pearsona
Jest wyznaczany poprzez standaryzację kowariancji:
cov(x, y)
rxy = ryx =
s(x) ⋅ s(y)
− 1 ≤ rxy ≤ 1
s(x), s(y) - odchylenia standardowe zmiennych x i y
Kowariancja:
cov(x,y,) = 0 cov(x,y) 0 -
brak zależności korelacyjnej
ujemna zależność korelacyjna
dodatnia zależność korelacyjna
Wykład 6/ 3
Statystyka matematyczna i planowanie...
Przedział ufności dla współczynnika korelacji liniowej Pearsona
Współczynnik korelacji linowej z próby (rxy=ryx) jest estymatorem
(oceną) współczynnika korelacji w populacji generalnej (ρ), a konkretna
jego wartość liczbowa, jako funkcja wyników z próby losowej, stanowi
ocenę punktową (w punkcie) ρ. Dla dużych prób (n120) współczynnik
korelacji ma rozkład asymptotycznie normalny:
⎛ 1− ρ2 ⎞
⎟
N⎜ ρ,
⎜
n ⎟
⎝
⎠
Wykład 6/ 4
Statystyka matematyczna i planowanie...
Przyjmując współczynnik ufności 1-α orz odczytując z tablic
rozkładu normalnego N(0,1) taką wartość uα, aby zachodziło:
P(-uα0 : ρ120) lub t (dla n
(…)
…
nieskorelowane:
hipotezę,
że
badane
cechy
w
populacji
są
H0: ρ=0
Wobec alternatywnej
H1: ρ≠0 : ρ>0 : ρ<0
Wykład 6/ 6
Statystyka matematyczna i planowanie...
Do weryfikacji hipotezy zerowej stosuje się, w zależności od
liczebności próby, test istotności u (dla n>120) lub t (dla n<=120)
u=
t=
rxy
1− r
2
xy
rxy
1− r
2
xy
n
n−2
Wykład 6/ 7
Statystyka matematyczna i planowanie...
19. ANALIZA REGRESJI
Oszacowanie funkcji regresji:
ˆ
y i = a0 + a1 ⋅ x i + ui
ui -
składnik resztowy określany jako:
ˆ
ui = yi − yi
Wykład 6/ 8
Statystyka matematyczna i planowanie...
Szacowanie parametrów funkcji regresji MNK (metodą
najmniejszych kwadratów)
n
ˆ
W = ∑ (yi − y i )2 = ∑ (yi − a0 − a1 ⋅ x i )2 → MIN
i=1
To wyrażenie jest funkcją dwóch zmiennych a0 i a1, a zatem należy
znaleźć minimum funkcji kwadratowej dwóch zmiennych.
WK ekstremum:
Zerowanie się pochodnych cząstkowych:
n
∂W
= 2 ⋅ ∑ (y i − a0 − a1 ⋅ x i )( −1)
∂a0
i=1
Wykład 6/ 9
Statystyka matematyczna i planowanie...
n
∂W
= 2 ⋅ ∑ (y i − a0 − a1 ⋅ x i )( − x i )
∂a1
i=1
Jeżeli przyrównamy pochodne do zera, to po przekształceniach
otrzymamy:
n
n
n
n
i =1
i =1
2
yi ∑ xi2 − ∑ xi ∑ xi yi
∑
a0 = i =1 i =1
⎛ n ⎞
n ⋅ ∑ xi2 − ⎜ ∑ xi ⎟
⎟
⎜
i =1
⎝ i =1 ⎠
n
Wykład 6/10…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)