Metody aktuarialne Wykład 5 Modelowanie ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach na życie 2012-11-11 2 Tablice trwania życia Tablice trwania życia opisują hipotetyczne populacje o liczebności początkowej 0 l (najczęściej 100 000 osób) podając dla odpowiednich grup wieku ,..., 2 , 1 , 0 x ( lat) 100 między innymi następujące informacje: 2012-11-11 3 x l - liczba osób w wieku x - lat x d - liczba osób, które przeżyją x - lat a nie dożyją wieku 1 x (jest to liczba zgonów w wieku x lat) 1 x x x l l d x q - prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x lat nie przeżyje całego roku, tzn. nie osiągnie wieku 1 x x x x l d q 2012-11-11 4 x p - prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x lat przeżyje jeszcze co najmniej jeden rok, tzn. osiągnie wiek 1 x , x x x l l p 1 x L - średnia liczba osób dożywających wieku x 1 ,..., 5 , 2 1 x l l L x x x 2012-11-11 5 x T - fundusz czasu, jaki mają do przeżycia osoby x -letnie x j j x L T x e - przeciętne dalsze trwanie życia osoby x -letniej x j j x x L l e 1 2012-11-11 6 Męż cz yźni 20 07 2012-11-11 7 Kob iety 20 07 2012-11-11 8 Na podstawie informacji zawartych w tablicach trwania życia możemy wyznaczyć następujące prawdopodobieństwa: x k p - prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x przeżyje jeszcze co najmniej k lat, to znaczy osiągnie wiek k x x k x x k l l p 2012-11-11 9 x k q - prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x nie przeżyje jeszcze co najmniej k lat, to znaczy nie dożyje wieku k x x k x x x k l l l q . 2012-11-11 10 Kalkulacja jednorazowej składki netto 2012-11-11 11 Wysokość jednorazowej składki netto wyznacza się wykorzystując zasadą równoważności składek i świadczeń. Zasada ta mówi, że „ w momencie początkowym wartość oczekiwana świadczeń powinna być równa wartości oczekiwanej składek ” . Należy pamiętać, że w ubezpieczeniach na życie
(…)
… wypłaconego w końcu roku, w którym wystąpił
wypadek ubezpieczeniowy (najczęściej śmierć ubezpieczonego),
v k - stopa dyskonta w końcu roku, w którym wystąpił wypadek
ubezpieczeniowy.
Iloczyn:
zk sk v k
oznacza wartość teraźniejszą świadczenia wypłaconego w końcu roku, w
którym wystąpił wypadek ubezpieczeniowy.
Jest nazywany funkcją wartości teraźniejszej.
2012-11-11
17
Wartość zk zależy od liczby lat od zawarcia umowy ubezpieczeniowej do
wystąpienia wypadku ubezpieczeniowego, zatem możemy ją traktować jako
realizację zmiennej losowej. Zmienną tą będziemy oznaczać przez Z, zatem:
Z z k sk v k .
Rozkład zmiennej Z jest taki sam jak rozkład zmiennej K x , czyli:
PZ sk vk PK x k k px qxk , k 0,1,..., x
lub
z k sk v k
PK x k
2012-11-11
s0 v 0
0
px qx
s2 v 2
s1v1
1
px qx1
2
...
p x q x2
....
18
Jednorazowa składka netto wynosi:
E Z sk v k k px qxk
k
Jest to tzw. aktuarialna wartość teraźniejsza świadczenia
2012-11-11
19
Ryzyko składki można mierzyć obliczając:
-
wariancję Var Z ,
-
odchylenie standardowe Var Z ,
-
Var Z
współczynnik zmienności V Z
.
E Z
2012-11-11
20
Jednorazowe składki netto dla
najważniejszych typów
ubezpieczeń na życie.
2012-11-11
21
Liczby komutacyjne:
Cx v x `1d x
Dx v xlx
M x Cx Cx1 ... C
N x Dx Dx1 ... D .
1
v
- stopa dyskonta
1 r
r – techniczna stopa procentowa.
2012-11-11
22
1. Dożywotnie ubezpieczenie na wypadek śmierci dla osoby x-letniej
Funkcja świadczeń:
sk 1, dla k 0,1,2,..., x
Funkcja dyskonta:
vk v k 1 , dla k 0,1,2,..., x
Funkcja wartości teraźniejszej…
… wyniki.
2012-11-11
55
Metoda prospektywna:
Matematyczna rezerwa składek w momencie m
wyznaczona metodą prospektywną jest równa wartości
netto przyszłych świadczeń zaktualizowanych na moment
m pomniejszonej o wartość netto przyszłych składek
zaktualizowanych również na moment m.
2012-11-11
56
Zależność prospektywną można zapisać następująco:
m V A( x m ) Pa( x m ) ,
gdzie:
m – oznacza liczbę…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)