Mechanika kwantowa - wykład

Nasza ocena:

3
Pobrań: 28
Wyświetleń: 742
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
 Mechanika kwantowa - wykład - strona 1  Mechanika kwantowa - wykład - strona 2  Mechanika kwantowa - wykład - strona 3

Fragment notatki:

Mechanika kwantowa
Stan układu złoŜonego z N cząstek określa funkcja
falowa Q (x1, y1, z1, x2, y2, z2, ......xN, yN, zN,t)
gdzie xk, yk, zk współrzędne k-tej cząstki
W stanie stacjonarnym:
Q (x1, y1, z1, x2, y2, z2, ......xN, yN, zN,t) =
Q (x1, y1, z1, x2, y2, z2, ......xN, yN, zN)@f(t)
Sens fizyczny funkcji falowej
*Q (x1, y1, z1, x2, y2, z2, ......xN, yN, zN)*2 = D (....)
ρ=
W
dx1⋅dy1⋅dz1 ⋅ .......⋅ dx N ⋅dy N ⋅dz N
W - prawdopodobieństwo, Ŝe współrzędne znajdują
się pomiędzy x1 a x1+dx1, y1 a y1+dy1, z1 a z1+dz1,.....,
xN a xN+dxN, yN a yN+dyN,zN a zN+dzN
dx1@dy1@dz1,....., dxN@dyN@dzN = objętość" w
przestrzeni 3N wymiarowej
Dla jednej cząstki w przestrzeni
trójwymiarowej
D = *Q(x ,y, z)*2 dV
z

Ψ( x , y , z ) dV = 1
2
x
V
y
Funkcja falowa a fala de Broglie’a
*Q (x1, y1, z1,*2 dla jednej cząstki
jest kwadratem amplitudy fali de Broglie’a
Q (x1, y1, z1)
jest amplitudą fali dla jednej cząstki
Funkcja falowa (1)
Jaka to ma być funkcja ?
Musi pozwolić na określenie prawdopodobieństwa,
zatem musi być:
- ciągła;
- jednoznaczna;
- znikająca w
nieskończoności
Takie funkcje nazywają
się funkcjami klasy Q,
albo
funkcjami porządnymi
Funkcja falowa (2)
Skąd wziąć funkcję falową ?
Przepisu dostarcza mechanika kwantowa ...
Pozwala ona na znalezienie funkcji falowej
opisującej zachowanie dowolnego układu ...
Niewiele wiemy o funkcjach ...
Wszystko wiemy o funkcjach ...
Przepis na funkcję falową (1)
1. Napisać klasyczny wzór na energię układu:
E = Ekin + Epot = T + V
2. Przekształcić wzór na energię tak, by zawierał
tylko współrzędne i pędy oraz stałe
(np. wyeliminować prędkość)
3. Zamienić współrzędne i pędy na odpowiednie
operatory i utworzyć operator energii całkowitej
Co to jest operator ?
liczba A  → liczba B
funkcja
funkcja A   → funkcja B
operator
mnoŜenie przez stałą

a·f(x)
mnoŜenie przez zmienną

x·f(x)
podnoszenie do kwadratu
róŜniczkowanie
[ ]2
d/dx
[f(x) ]2
df(x)/dx
Operatory mechaniki kwantowej
KaŜdej wielkości odpowiada operator:
x⋅
x
$
x
px
$
px
− ih ∂∂x
py
$
py
− ih ∂∂y
pz
$
pz
− ih ∂∂z
p
2
$
p
2
h
(
2 ∂2
∂ x2
i - jednostka urojona
i = −1
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂ z2
)
Przepis na funkcję falową (2)
4. Rozwiązać zagadnienie własne energii :
$
HΨ = EΨ
E = T +V
$ $ $
H = T+ V
Operator energii
całkowitej
Energia całkowita
układu (liczba)
Przepis na funkcję falową (3)
Równanie to nosi nazwę równania Schrödingera
Erwin Schrödinger, 1887-1961, Nobel 1933
Jest to równanie podobne do równania
amplitudy fali w akustyce ...
Funkcje wielu zmiennych ...
Funkcja jednej zmiennej y = f (x),
Wykres na płaszczyźnie
Pochodna
dy
y' = f ' ( x) =
dx
Druga pochodna
d 2 y d  dy 
y" = f "( x ) =
=
 
dx 2 dx  dx 
Pochodne róŜnych funkcji:
Funkcja
Pochodna
ax n
sin x
nax n-1
cos x
cos x
log x
.....
- sin x
1
x
Funkcja
(u + v )
Pochodna
u'+ v '
u⋅ v
u' ⋅ v+u ⋅ v'
u
v
u'⋅ v-u⋅ v'
v2
d
f ( u( x )
dx
d(f(u) du

du dx
Funkcja wielu zmiennych ...
Funkcja dwóch lub trzech zmiennych

(…)

… ( x, y, z)
= − 6x 2 z
2
∂y
2
∂ 2 f ( x, y, z)
=12 x 2 + 3z − 12 xyz
∂ x∂ y
∂ 2 f ( x , y , z)
=3 y − 6 xy 2
∂ z∂ x
∂ 2 f ( x, y, z)
=3x − 6 x 2 y
∂ z∂ y
Drugie pochodne (pierwsza po z - 3):
∂ 2 f ( x , y, z)
=10
∂ z2
∂ 2 f ( x , y, z)
=3 y − 6 xy 2
∂ x∂ z
∂ 2 f ( x , y, z)
=3x − 6 x 2 y
∂ y∂ z
Równanie róŜniczkowe ...
Równanie algebraiczne:
’ zawiera jedną lub więcej niewiadomych oraz
stałe…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz