Pochodne cząstkowe-opracowanie - Ekstremum

Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Funkcje wielu zmiennych
1
Pochodne cząstkowe.
1. Obliczyć wskazane pochodne funkcji:
1
b) g(x, y, z) = exyz ,
,
fx , fxx
+ y2 + z2
c) h(x, y, z) = (x/y)z ,
hx , hy , hz
a) f (x, y, z) =
x2
gx y z
yz
d) k(x, y, z) = x ,
kx , ky , kz
2. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji
a)
f (x, y) =
x4 + y 2 ; (Wsk. W (0, 0) policzyć z def.).
b)
f (x, y) =
3
x3 + y 3
3. Obliczyć pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie dla funkcji:
a)
f (x, y) = arc tg
y
x
b)
f (x, y) = x cos2 (x + 2y + z 2 )
Funkcja uwikłana
Niech F będzie funkcją dwóch zmiennych (ciągłą wraz z pochodnymi cząstkowymi w otoczeniu punktu
(x0 , y0 )). Niech F (x0 , y0 ) = 0, a Fy (x0 , y0 ) = 0 . Wtedy równanie F (x, y) = 0 wyznacza funkcję
uwikłaną y = y(x) = f (x) ciągłą i różniczkowalną w otoczeniu punktu x0 taką że f (x0 ) = y0 . Jej
pochodne w otoczeniu x0 są określone wzorami:
Fxx Fy 2 − 2Fxy Fx Fy + Fyy Fx 2
Fx (x, f (x))
,
f (x) = −
Fy (x, f (x))
Fy 3
Jeżeli równanie F (x, y) = 0 określa funkcję uwikłaną y = y(x) = f (x) oraz
f (x) = −
Fxx (x0 , y0 )
= 0,
Fy (x0 , y0 )
to w punkcie x 0 istnieje ekstremum funkcji uwikłanej y = f (x) i jest to minimum, gdy f (x0 ) 0 ,
a maksimum - gdy f (x0 ) ... zobacz całą notatkę