Funkcje dwóch zmiennych Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I) Definicja funkcji dwóch zmiennych DEFINICJA Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A ⊂ R 2 o wartościach w R nazywamy takie przy- porządkowanie, w którym każdemu punktowi ze zbioru A odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywista. Funkcję taką oznaczamy przez f : A → R lub z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ A. Wartość funkcji f w punkcie (x, y) oznaczamy symbolem f (x, y). Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji i oznaczamy przez Df . DEFINICJA Wykresem funkcji f dwóch zmiennych nazywamy zbiór (x, y, z) ∈ R 3 : (x, y) ∈ D f ∧ z = f (x, y) . Pochodne cząstkowe funkcji w punkcie Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu (x0, y0). DEFINICJA Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej x w punkcie (x0, y0) określamy wzorem ∂f ∂x (x0, y0) def = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) ∆x , jeśli granica ta istnieje i jest skończona. Pochodną tę oznacza się także symbolem fx(x0, y0). DEFINICJA Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej y w punkcie (x0, y0) określamy wzorem ∂f ∂y (x0, y0) def = lim ∆y→0 f (x0, y0 + ∆y) − f (x0, y0) ∆y , jeśli granica ta istnieje i jest skończona. Pochodną tę oznacza się także symbolem fy(x0, y0). Pochodne cząstkowe funkcji na zbiorze Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w każdym punkcie zbioru otwartego D ⊂ R 2, to funkcje ∂f ∂x (x, y), ∂f ∂y (x, y), gdzie (x, y) ∈ D, nazywamy odpowiednio pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu funkcji f na zbiorze D i oznaczamy odpowiednio symbolami ∂f ∂x , ∂f ∂y lub fx,fy. Uwaga. Przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej pozostałe zmienne traktujemy jak stałe. Obowiązują więc wszystkie znane twierdzenia dotyczące obliczania pochodnej funkcji jednej zmiennej. Pochodne cząstkowe drugiego rzędu w punkcie Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe ∂f ∂x oraz ∂f ∂y przynajmniej na otoczeniu punktu (x0, y0). DEFINICJA Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie (x0, y0) określamy wzorami: ∂ 2 f ∂x2 (x0, y0) def = ∂ ∂x ∂f ∂x (x0, y0), ∂ 2 f ∂y∂x (x0, y0) def = ∂ ∂y ∂f ∂x (x0, y0), ∂ 2 f ∂x∂y (x0, y0) def = ∂ ∂x ∂f ∂y (x0, y0), ∂ 2 f ∂y2 (x0, y0) def = ∂ ∂y ∂f ∂y (x0, y0). Powyższe pochodne oznacza się także odpowiednio symbolami fxx(x0, y0), fyx(x0, y0), fxy(x0, y0) oraz fyy(x0, y0).
(…)
… nie jest prawdziwa.
Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których jej wszystkie pochodne cząstkowe są równe 0 albo w
punktach, w których przynajmniej jedna z tych pochodnych cząstkowych nie istnieje.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum
TWIERDZENIE Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu (x0 , y0 ) oraz
niech
∂f
∂f
1.
(x0 , y0 ) = 0 oraz
(x0 , y0 ) = 0,
∂x
∂y
2…
… Jeżeli pochodne cząstkowe drugiego rzędu ∂y∂x (x0 , y0 ) i
to są w tym punkcie równe.
∂2f
∂2f
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 )
∂y∂x
∂x∂y
∂2f
∂x∂y (x0 , y0 )
są ciągłe w punkcie (x0 , y0 ),
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
DEFINICJA Funkcja f ma w punkcie (x0 , y0 ) minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla
dowolnego (x, y) z tego otoczenia zachodzi nierówność f (x, y) f (x0 , y0 ).
Funkcja f…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)