macierze nieosobliwe - omówienie

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 406
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
macierze nieosobliwe - omówienie - strona 1 macierze nieosobliwe - omówienie - strona 2

Fragment notatki:

Macierze nieosobliwe
Macierze nieosobliwe definiujemy tylko dla macierzy kwadratowych.
Definicja 1.
Macierz
taka że:
An×n
nazywamy macierzą nieosobliwą, jeżeli istnieje macierz
Bn×n
A⋅ B = B ⋅ A = I
Twierdzenie 1.
Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą, to macierz B z definicji 1 jest
jedyna.
Definicja 2.
Jeżeli macierz A jest nieosobliwa, to jedyną macierz B z definicji 1
nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A i oznaczamy A-1. O macierzy
A mówimy też, że jest macierzą odwracalną.
Definicja 3.
Macierz, która nie jest macierzą nieosobliwą, jest nieodwracalna i
osobliwa.
Twierdzenie 2.
Z: ( X , K , +, ⋅)
przestrzenie wektorowe nad
ciałem K z ustalonymi bazami
(Y , K , + , ⋅ )
dim X = dim Y = n
Mf
- macierz odwzorowania
f : X → Y - odwzorowanie liniowe
T: f-odwzorowanie izomorficzne ⇔ M f jest macierzą nieosobliwą.
Ponadto:
(M )
f
−1
= M f −1
Przykład 1.
Znaleźć macierz odwrotną.
 −1 0 1
A =  1 −1 0


 0 1 1


3
(
3
X
, , +, ⋅ )
A= Mf
(
3
Y
B = ( e1 , e2 , e3 )
, , +, ⋅ )
- baza kanoniczna
∋ x = ( x1 , x2 , x3 ) = [ x1 , x2 , x3 ]B → y = ( y1 , y2 , y3 ) = [ y1 , y2 , y3 ]B
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 2
Część 7 – Macierze nieosobliwe
y = f (x) ⇔
 −1 0 1   x1   y1 
 1 −1 0   x  =  y 

 2  2
 0 1 1   x3   y3 

   
 − x1 + x3 = y1

 x1 − x2 = y2
x + x = y
3
3
 2
1
1
1

x1 = − y1 + y2 + y3

2
2
2

1
1
1

 x2 = − y1 − y2 + y3
2
2
2

1
1
1

x3 = y1 + y2 + y3

2
2
2

 1
− 2
 x1  
 x  = − 1
 2  2
 x3  
 
1

 2
1
2
1

2
1
2
1
2  y 

1
1  
⋅ y2
2  
y 
1  3

2
A−1
 1
− 2

1
−1
A = −
 2
 1

 2
1
2
1

2
1
2
1
2

1
2
1

2
WNIOSEK:
1) A- macierz nieosobliwa, to A-1 też jest macierzą nieosobliwą i (A-1)-1=A
2) A,B –macierze nieosobliwe, to A·B też macierz nieosobliwa i (A·B)-1= B-1·A-1
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 2
Część 7 – Macierze nieosobliwe
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz