zmiana bazy - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 21
Wyświetleń: 1456
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
zmiana bazy - omówienie - strona 1 zmiana bazy - omówienie - strona 2 zmiana bazy - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

Zmiana bazy przestrzeni wektorowej
Definicja 1.
( X , K , +, ⋅) - przestrzeń wektorowa nad ciałem K
B = (e1 , e2 ,..., en )
- stara baza
B ' = ( e1 ', e2 ',..., en ') - nowa baza
Macierzą przejścia P od B do B’ nazywamy macierz odwzorowania
Identycznościowego PB → B ' przestrzeni X w siebie wyjściowo traktowanej z
bazą B’, a docelowo z bazą B
IdX
X
B’
P = M IdX ( B ', B )
X
B
WNIOSEK:
IdX ( e1 ') = e1 ' = a11e1 + a21e2 + ... + an1en = [ a11 + a21 + ... + an1 ]B
IdX ( e2 ') = e2 ' = a12 e1 + a22 e2 + ... + an 2 en = [ a12 + a22 + ... + an 2 ]B
IdX ( en ' ) = en ' = a1n e1 + a2 n e2 + ... + ann en = [ a1n + a2 n + ... + ann ]B
 a11
a
P =  21


 an1
a12 … a1n 
a22 … a2 n 



an 2 … ann 
Pierwszą kolumnę macierzy przejścia stanowią współrzędne pierwszego
wektora nowej bazy względem starej bazy.
Drugą kolumnę macierzy przejścia stanowią współrzędne drugiego
wektora nowej bazy względem starej bazy.
n-tą kolumnę macierzy przejścia stanowią współrzędne n-tego wektora
nowej bazy względem starej bazy.
Przykład 1.
( X , K , +, ⋅ )
- przestrzeń wektorowa
dim X = 3
B = (e1 , e2 , e3 ) - stara baza
B ' = ( e1 ', e2 ', e3 ') - nowa baza
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
e1 ' = e1
e2 ' = e1 + e2
e3 ' = e1 + e2 + e3
Sprawdzamy, ze B’ jest bazą:
α e1 '+ β e2 '+ γ e3 ' = 0
α e1 + β ( e1 + e2 ) + γ ( e1 + e2 + e3 ) = 0
(α + β + γ ) e1 + ( β + γ ) e2 + (γ ) e3 = 0
e1 , e2 , e3
- wektory liniowo niezależne
α + β + γ = 0

β + γ = 0
γ = 0

α = 0

⇒ β = 0
γ = 0

i dimX=3, więc B’ jest bazą
e1 ' = 1e1 + 0e2 + 0e3 = [1, 0, 0]B
1 1 1
P = 0 1 1


0 0 1


e2 ' = 1e1 + 1e2 + 0e3 = [1,1, 0]B
e2 ' = 1e1 + 1e2 + 1e3 = [1,1,1]B
WNIOSEK
−1
1) macierz P jest macierzą nieosobliwą PB → B ' oraz PB '→ B jest macierzą
odwrotną
2) x = [ x1 , x2 ,..., xn ]B = [ x1 ', x2 ',..., xn ']B
 x1 
 x1 ' 
x 
 x '
 2
X=
X '= 2 
 
 
 
 
 xn 
 xn '
Na podstawie postaci macierzowej:
X = P ⋅ X ' ⇒ X ' = P −1 ⋅ X
Przykład 1’.
x = e1 − 2e2 + 3e3 = [1, −2,3]B = [ x1 ', x2 ', x3 ']B ' =
 1  1 1 1  x1 ' 
 −2  =  0 1 1  x '
  
 2 
 3   0 0 1  x3 '
  
 
 x1 '+ x2 '+ x3 ' = 1

 x2 '+ x3 ' = −2
x ' = 3
 3
 x1 ' = 3

 x2 ' = −5
x ' = 3
 3
= [3, −5,3]B '
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
Twierdzenie 1. (o zmianie macierzy odwzorowania przy zmianie baz
przestrzeni)
Z:
( X , K , +, ⋅) , (Y , K , +, ⋅) - przestrzenie wektorowe
B2 = ( l1 , l2 ,..., ln ) 
B1 = ( e1 , e2 ,..., em ) 

dim X = m
bazy w Y
bazy w X


dim Y = n
B1 ' = ( e1 ', e2 ',..., em ' ) 
B2 ' = ( l1 ', l2 ',..., ln ' ) 


P = PB1 → B1 '
Q = QB2 → B2 '
f : X → Y f jest odwzorowaniem liniowym
A = M f ( B1 , B2 )
B = M f ( B1 ', B2 ')
−1
T: B = Q ⋅ A ⋅ P
Przykład 2.
( X , K , +, ⋅ )
B1 = ( e1 , e2 , e3 )
B1 ' = ( e1 ', e2 ', e3 ')
( Y , K , +, ⋅ )
e1 ' = e1 + e2
l1 ' = − l1 + l2
e2 ' = e2 + e3
l2 ' = l1 + l2
B2 = ( l1 , l2 )
B2 ' = ( l1 ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz