Ekstremum funkcji i całki

Nasza ocena:

3
Pobrań: 35
Wyświetleń: 847
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ekstremum funkcji i całki - strona 1 Ekstremum funkcji i całki - strona 2 Ekstremum funkcji i całki - strona 3

Fragment notatki:


EKSTREMUM FUNKCJI  Def. Mówimy, że funkcja y=f(x) ma w x0 maksimum (minimum), jeżeli:  /\  ) , 0 ( δ x Q x ∈   f(x)  ≤ f(x0)      (   f(x) ≥f(x0)   ).    Jeżeli  /\  ) , 0 ( δ x Q x ∈   f(x)   f(x0)   )  to mówimy, że f(x) ma w x0 maksimum (minimum) właściwe. Maksimum i minimum nazywamy  ekstremum funkcji.    Warunek konieczny istnienia ekstremum  Jeżeli  funkcja y = f(x) ma ekstremum w xo i ma pochodną w tym punkcie, to f’(x0) = 0    I warunek wystarczający istnienia ekstremum  Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła w x0 oraz w pewnym otoczeniu Q (x0,δ), posiada pochodną f’(x) i jeżeli:  1)   F’(x0) = 0  2)   Dla każdego x  ∈(x 0 – δ , x0)   f’(x)  0   [f’(x)  0]  To funkcja y=(fx) ma w x0 maksimum (minimum) właściwe.    II warunek wystarczający istnienia ekstremum  Jeżeli funkcja f(x) ma ciągłe pochodne, aż do rzędu II-go włącznie, ciągłe w pewnym otoczeniu Q  punktu x0 i jeżeli:  1)   F’(x0) = 0  2)   F ‘’ (x0) ≠ 0  3)   To funkcja y = f(x) ma w punkcie x0 ekstremum właściwe, przy czym jest to maksimum, gdy  f’’(x0)0.    Wklęsłość i wypukłość wykresu funkcji y=f(x)  Def. Mówimy, że wykres funkcji y=f(x) jest wypukły (wklęsły) w (a,b), jeżeli styczna do wykresu leży  nad (pod) wykresem w x  ∈(a,b).    Punkty przegięcia  Def. Punkt P0 = (x0, y0), gdzie y0 = f(x0),  nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji y = f(x) jeżeli  dla x ∈(x 0 – δ , x0) wykres jest wypukły (wklęsły), zaś dla x ∈(x 0 , x0 + δ) wykres jest wklęsły (wypukły).  Asymptoty:  1.  Pionowe:  zakładamy, _e Df posiada pewne lewo lub prawostronne sasiedztwo punktu c  Prosta o równaniu x = c nazywamy asymptota pionowa funkcji y = f(x) tylko wtedy gdy istnieje granica  niewłasciwa  Lim f(x) = (+-)O gdzie x;c(+-)  2. Ukosne i poziome: Prosta y = mx + k nazywamy asymptota ukosna (pozioma, m = 0), gdy:  Lim = [f(x) – mx - k] = 0 dla x; - O - lewostronna  lub  Lim = [f(x) – mx - k] = 0 dla x; + O - prawostronna  Jesli krzywa ma asymptote ukosna to: m = Lim [f(x)/x] , k = Lim [f(x) - mx] granice dla x;(+-)O  odpowiednio dla lewo  lub prawostronnej.  Jesli istnieja granice dla wartosci m i k i SA one własciwe to mamy granice ukosna    Badanie przebiegu zmienności funkcji  opiera się na następujących twierdzeniach podstawowych 

(…)

… nieoznaczoną (nieokreśloną) funkcji f(x), oznaczoną symbolem
∫f(x)dx
Nazywamy wyrażenie F(x) + C, gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), a C jest dowolną stałą.
Jest więc:
∫f(x)dx = F(x) + C,
gdzie F’(x) = f(x).
Podstawowe wzory:
Podstawowe własności całek:
Całka sumy równa się sumie całek:
∫(f(x) + g(x) )dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
Stały czynnik wolno wynieść przed całkę
∫kf(x)dx = k∫f(x)dx,
k≠0
Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x, mającymi ciągłą pochodną, to
∫udv = uv - ∫vdu
(jest to całkowanie przez części)
Jeżeli dla a ≤ x ≤ b, g(x) = u jest funkcją mającą ciągłą pochodną, oraz A ≤ g(x) ≤ B, a funkcja f(u) jest
ciągła w przedziale [A,B], to:
∫f(g(x))g’(x)dx = ∫f(u)du
Przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić u = g(x) (jest to
wzór na całkowanie przez zmianę…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz