1. POCHODNA granica ilorazu różnicowego. Tangens kąta pomiędzy styczną do wykresu funkcji w punkcie x0, f(x0) z osią OX. (POCHODNA Z KAŻDEJ LICZBY R = 1)
2. POCHODNA FUNKCJI W PUNKCIE Granicę właściwą (jeżeli istnieje) ilorazu różnicowego f(x0+h)-f(x0) / h dla h dążącego do 0 nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f `(x0) = lim h→0 f(x0+h)-f(x0) / h = lim x→x0 f(x)-f(x0) / x-x0 = ∆y / ∆x. Jeżeli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x to: 1 [c∙f(x)] '= c∙f `(x) dla dowolnej stałej c nal. do R; 2 [f(x)±g(x)] '=f '(x)±g '(x); 3 [f(x) ∙g(x)] '=f '(x)∙g(x)+g '(x)∙f(x); 4 []'= , gdy g(x)≠0; 5 {f[g(x)]} '=f '[g(x)]∙g '(x), gdy funkcja f ma pochodną w punkcie g(x), a funkcja g w punkcie x.
3. POCHODNEA FUNKCJI W PUNKCIE - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA Pochodna f `(x0) jest równa tangensowi kąta alfa, jaki tworzy z osią OX styczna do wykresu funkcji y=f(x) w punkcie o odciętej x0.
4. RÓWNANIE STYCZNEJ DO WYKRESU FUNKCJI y=f(x) W PUNKCIE (x0, f(x0)) y-f(x0)=f `(x0)(x-x0).
5. POCHODNE JEDNOSTRONNE FUNKCJI Jeżeli iloraz różnicowy f(x)-f(x0) / x-x0 ma granicę jednostronną w punkcie x0, to granicę tę nazywamy pochodną jednostronną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy odpowiednio symbolami: f `±(x0) = lim x→x0±f(x)-f(x0) / x-x0 (+ prawostronna, - lewostronna). Pochodna f `(x0) istnieje ↔ obie pochodne jednostronne istnieją i są równe.
6. FUNKCJA POCHODNEJ FUNKCJI f Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie x pewnego przedziału (lub innego zbioru punktów), to określoną na tym przedziale (zbiorze) funkcję f `(x) = lim ∆x→0 f(x+∆x)-f(x) / ∆x nazywamy funkcją pochodną funkcji f.
7. DRUGA POCHODNA Jeżeli funkcja pochodna f ` jest różniczkowalna, to pochodną funkcji f ` nazywamy pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną) funkcji f i oznaczamy symbolem f `'. f `'(x)=(f `) '(x). 8. POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH Wzór funkcji y=f(x)
Pochodna f '(x)
Uwagi
f (x) = c
(c) ` = 0
cR
f (x) = ax + b
(ax + b) ` = a
f (x) = ax2 + bx + c
(ax2+bx+c)` = 2ax+b
f (x) = xa
(xa) ` = a ∙ xa-1
aR \ {0,1}
f (x) = √x
(√x) ` = 1 / 2√x
x > 0
f (x) = a / x
(a / x) ` = -a / x2
x ≠ 0
f (x) = n√x
(n√x) `= 1 / n ∙ n√xn-1n należy do N \{0,1}
x > 0
f (x) = sin x
(sin x) ` = cos x
f (x) = cos x
(cos x) ` = - sin x
f (x) = tg x
(tg x) ` = 1 / cos2x
x≠π/2+kπ dla kC
f (x) = ctg x
(ctg x) ` = - 1 / sin2x
x ≠ kπ dla kC
f (x) = ax
(ax) ` = ax ∙ ln a
a > 0
f (x) = ex
(ex) ` = ex
f (x) = ln x
(ln x) ` = 1 / x
x > 0
f (x) = ln |x|
(ln |x|) ` = 1 / x
x ≠ 0
(…)
… ekstremum i ma w tym punkcie pochodną, to f `(x0)=0. 1 warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji: Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 Df i ma pochodną w pewnym sąsiedztwie (x0;δ), przy czym: f `(x)>0 dla x (x0-δ;x0) i f `(x)<0 dla x (x0;x0+δ) [f `(x)<0 dla x (x0-δ;x0) i f `(x)>0 dla x (x0;x0+δ)], to funkcja ma w punkcie x0 minimum [minimum] lokalne. 2 warunek wystarczający istnienia ekstremum…
…)) jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty (a,f(a)) i (b,f(b)). Wnioski: Jeżeli funkcja y=f(x) jest różniczkowalna w przedziale (a,b), to dla: f `(x)=0 → funkcja jest stała; f `(x)>0 → funkcja jest rosnąca; f `(x)<0 → funkcja jest malejąca. Wnioski pozostają prawdziwe dla przedziałów: (-∞;b), (a; ∞), (-∞;∞).
12. WZÓR TAYLOR'A Wzór Taylor'a dla funkcji f, punktu x0 oraz liczby naturalnej n ma postać…
…)≥f(x0) [f(x)≤f(x0)]. 16. CAŁKI NIEOZNACZONE f - funkcja podcałkowa; C - stała całkowania; x - zmienna całkowania; f(x)dx - wyrażenie podcałkowe.
1. FUNKCJA PIERWOTNA Funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale (a, b): F '(x) = f(x). # NP F(x) = x2 jest funkcją pierwotną funkcji f(x) = 2x, bo (x2)'=2x. # NP F(x)=ln x jest funkcją pierwotną funkcji f(x)=1/x, bo (ln x) `=1/x, x>0. 2. CAŁKOWANIE szukanie funkcji pierwotnej. 3. CAŁKA NIEOZNACZONA F(x)+C, C należy do R. Funkcja podcałkowa to f(x) z całki z f(x) dx. WZÓR: 17. CAŁKOWANIAE - PODSTAWOWE PRAWA 1. Całka z iloczynu funkcji przez stałą: dla a należącego do R;
2. Całka z sumy (różnicy) funkcji: 3. Całkowanie przez części: 4. Całkowanie przez podstawienie: dla t=g(x) i dt=g'(x)dx
18. CAŁKI FUNKCJI ELEMENTARNYCH: Funkcja element…
… punktu 0).
3. <=> funkcja g(x) jest funkcją nieparzystą.
22. POLE OBSZARU OGRANICZONEGO WYKRESAMI
23. OBJĘTOŚĆ BRYŁ OBROTOWYCH
24. DŁUGOŚĆ ŁUKU KRZYWEJ Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [a, b]. Wówczas długość łuku krzywej będącej wykresem f funkcji f między punktami (a, f(a)), (b, f(b)) wyraża się wzorem:
25. METODA PROSTOKĄTÓW
f(x) - całkowalna na [a, b]; n należy do N - liczba ustalona…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)