Pochodna funkcji (1)

Nasza ocena:

3
Pobrań: 77
Wyświetleń: 1099
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pochodna funkcji (1) - strona 1 Pochodna funkcji (1) - strona 2 Pochodna funkcji (1) - strona 3

Fragment notatki:


1 Pochodna funkcji Definicja Niech x 0  ∈  R  oraz niech funkcja  f  będzie określona przynajmniej w pewnym otoczeniu punktu x 0  . Ponadto niech  ∆ x będzie takie, że x  =  x 0 + ∆ x  należy do tego otoczenia. •  Liczbę ∆ x  nazywamy wówczas  przyrostem argumentu , a róznicę ∆ f  =  f  ( x 0 + ∆ x )  − f  ( x 0)  nazywamy odpowiednio  przyrostem funkcji , który w punkcie x 0  odpowiada przyrostowi argumentu ∆ x  . •  Stosunek ∆ f ∆ x = f  ( x 0 + ∆ x )  − f  ( x 0) ∆ x nazywamy  ilorazem różnicowym  funkcji f w punkcie x 0  , odpowiadającym przyrostowi argumentu ∆ x  . 2 Definicja Pochodną funkcji f  w punkcie  x 0  nazywamy granicę właściwą (o ile istnieje) ilorazu różnicowego tej funkcji w punkcie x 0  , gdy przyrost ∆ x  dąży do zera i oznaczamy ją symbolem  f  ( x 0)  , tzn. f  ( x 0) def = lim ∆ x→ 0 ∆ f ∆ x = lim ∆ x→ 0 f  ( x 0 + ∆ x )  − f  ( x 0) ∆ x      f  ( x 0) = lim x→x 0 f  ( x )  − f  ( x 0) x − x 0      . Przykład Wyznaczyć z definicji f  (1)  dla funkcji  f  ( x ) =  x 2 −x  . 3 Uwaga Pochodną prawostronną (lewostronną) funkcji f w punkcie x 0  nazywamy granicę prawostronną (lewostronną) ilorazu różnicowego tej funkcji w punkcie x 0  , gdy przyrost  ∆ x  dąży do zera i oznaczamy ją symbolem f +( x 0)  (  f− ( x 0)  ), tzn. f +( x 0) def = lim ∆ x→ 0+ ∆ f ∆ x = lim ∆ x→ 0+ f  ( x 0 + ∆ x )  − f  ( x 0) ∆ x f− ( x 0) def = lim ∆ x→ 0 − ∆ f ∆ x = lim ∆ x→ 0 − f  ( x 0 + ∆ x )  − f  ( x 0) ∆ x . Uwaga Pochodna funkcji f  w punkcie  x 0  istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie pochodne jednostronne w tym punkcie i są sobie równe. Oczywiście f  ( x 0)  jest równa tej wspólnej wartości. 4 Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji f  ( x 0) = tg  α y − f  ( x 0) =  f  ( x 0)  ·  (  x − x 0 ) Równanie kierunkowe prostej stycznej do wykresu funkcji f  w punkcie o odciętej  x 0 5 Pochodna jako funkcja Definicja Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie pewnego zbioru, to przyporządkowanie, które każdemu punktowi x tego zbioru przyporządkowuje pochodną funkcji f  w tym punkcie, jest nową funkcją, określoną w tym zbiorze. Nazywamy ją  funkcją pochodną  lub po prostu  pochodną funkcji f  i oznaczamy  f lub df dx  . Przykład Wyznaczyć z definicji pochodne funkcji: f  ( x ) =  x 3 

(…)


nie jest ciągła w punkcie x , to nie jest też
różniczkowalna −→ przykład f (x) = sgn x .
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe −→ przykład f (x) =
|x| .
Przykład
Zbadaj różniczkowalność funkcji f (x) =

3
x.

… (x) ) · f (x).
Oblicz pochodną funkcji:
f (x) = sin2 x + sin x2
f (x) = ln 1 + x2
.
8
Twierdzenie
( O pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcje f
i f −1 są wzajemnie odwrotne oraz f (x) = 0 , to
( f −1 ) (y) =
1
,
f (x)
gdzie y = f (x) .
Przykład
Oblicz pochodną funkcji:
f (x) = arcsin x
f (x) = arctg x
.
9
Pochodne wyższych rzędów
Definicja
Pchodną rzędu n funkcji f w punkcie x definiujemy…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz