To tylko jedna z 10 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 Pochodna funkcji Definicja Niech x 0 ∈ R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej w pewnym otoczeniu punktu x 0 . Ponadto niech ∆ x będzie takie, że x = x 0 + ∆ x należy do tego otoczenia. • Liczbę ∆ x nazywamy wówczas przyrostem argumentu , a róznicę ∆ f = f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0) nazywamy odpowiednio przyrostem funkcji , który w punkcie x 0 odpowiada przyrostowi argumentu ∆ x . • Stosunek ∆ f ∆ x = f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0) ∆ x nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 , odpowiadającym przyrostowi argumentu ∆ x . 2 Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granicę właściwą (o ile istnieje) ilorazu różnicowego tej funkcji w punkcie x 0 , gdy przyrost ∆ x dąży do zera i oznaczamy ją symbolem f ( x 0) , tzn. f ( x 0) def = lim ∆ x→ 0 ∆ f ∆ x = lim ∆ x→ 0 f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0) ∆ x f ( x 0) = lim x→x 0 f ( x ) − f ( x 0) x − x 0 . Przykład Wyznaczyć z definicji f (1) dla funkcji f ( x ) = x 2 −x . 3 Uwaga Pochodną prawostronną (lewostronną) funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granicę prawostronną (lewostronną) ilorazu różnicowego tej funkcji w punkcie x 0 , gdy przyrost ∆ x dąży do zera i oznaczamy ją symbolem f +( x 0) ( f− ( x 0) ), tzn. f +( x 0) def = lim ∆ x→ 0+ ∆ f ∆ x = lim ∆ x→ 0+ f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0) ∆ x f− ( x 0) def = lim ∆ x→ 0 − ∆ f ∆ x = lim ∆ x→ 0 − f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0) ∆ x . Uwaga Pochodna funkcji f w punkcie x 0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie pochodne jednostronne w tym punkcie i są sobie równe. Oczywiście f ( x 0) jest równa tej wspólnej wartości. 4 Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji f ( x 0) = tg α y − f ( x 0) = f ( x 0) · ( x − x 0 ) Równanie kierunkowe prostej stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej x 0 5 Pochodna jako funkcja Definicja Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie pewnego zbioru, to przyporządkowanie, które każdemu punktowi x tego zbioru przyporządkowuje pochodną funkcji f w tym punkcie, jest nową funkcją, określoną w tym zbiorze. Nazywamy ją funkcją pochodną lub po prostu pochodną funkcji f i oznaczamy f lub df dx . Przykład Wyznaczyć z definicji pochodne funkcji: f ( x ) = x 3
(…)
…
nie jest ciągła w punkcie x , to nie jest też
różniczkowalna −→ przykład f (x) = sgn x .
• Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe −→ przykład f (x) =
|x| .
Przykład
Zbadaj różniczkowalność funkcji f (x) =
√
3
x.
…
… (x) ) · f (x).
Oblicz pochodną funkcji:
f (x) = sin2 x + sin x2
f (x) = ln 1 + x2
.
8
Twierdzenie
( O pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcje f
i f −1 są wzajemnie odwrotne oraz f (x) = 0 , to
( f −1 ) (y) =
1
,
f (x)
gdzie y = f (x) .
Przykład
Oblicz pochodną funkcji:
f (x) = arcsin x
f (x) = arctg x
.
9
Pochodne wyższych rzędów
Definicja
Pchodną rzędu n funkcji f w punkcie x definiujemy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)