EKSTREMUM FUNKCJI Def. Mówimy, że funkcja y=f(x) ma w x0 maksimum (minimum), jeżeli: /\ ) , 0 ( δ x Q x ∈ f(x) ≤ f(x0) ( f(x) ≥f(x0) ). Jeżeli /\ ) , 0 ( δ x Q x ∈ f(x) f(x0) ) to mówimy, że f(x) ma w x0 maksimum (minimum) właściwe. Maksimum i minimum nazywamy ekstremum funkcji. Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli funkcja y = f(x) ma ekstremum w xo i ma pochodną w tym punkcie, to f’(x0) = 0 I warunek wystarczający istnienia ekstremum Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła w x0 oraz w pewnym otoczeniu Q (x0,δ), posiada pochodną f’(x) i jeżeli: 1) F’(x0) = 0 2) Dla każdego x ∈(x 0 – δ , x0) f’(x) 0 [f’(x) 0] To funkcja y=(fx) ma w x0 maksimum (minimum) właściwe. II warunek wystarczający istnienia ekstremum Jeżeli funkcja f(x) ma ciągłe pochodne, aż do rzędu II-go włącznie, ciągłe w pewnym otoczeniu Q punktu x0 i jeżeli: 1) F’(x0) = 0 2) F ‘’ (x0) ≠ 0 3) To funkcja y = f(x) ma w punkcie x0 ekstremum właściwe, przy czym jest to maksimum, gdy f’’(x0)0. Wklęsłość i wypukłość wykresu funkcji y=f(x) Def. Mówimy, że wykres funkcji y=f(x) jest wypukły (wklęsły) w (a,b), jeżeli styczna do wykresu leży nad (pod) wykresem w x ∈(a,b). Punkty przegięcia Def. Punkt P0 = (x0, y0), gdzie y0 = f(x0), nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji y = f(x) jeżeli dla x ∈(x 0 – δ , x0) wykres jest wypukły (wklęsły), zaś dla x ∈(x 0 , x0 + δ) wykres jest wklęsły (wypukły). Asymptoty: 1. Pionowe: zakładamy, _e Df posiada pewne lewo lub prawostronne sasiedztwo punktu c Prosta o równaniu x = c nazywamy asymptota pionowa funkcji y = f(x) tylko wtedy gdy istnieje granica niewłasciwa Lim f(x) = (+-)O gdzie x;c(+-) 2. Ukosne i poziome: Prosta y = mx + k nazywamy asymptota ukosna (pozioma, m = 0), gdy: Lim = [f(x) – mx - k] = 0 dla x; - O - lewostronna lub Lim = [f(x) – mx - k] = 0 dla x; + O - prawostronna Jesli krzywa ma asymptote ukosna to: m = Lim [f(x)/x] , k = Lim [f(x) - mx] granice dla x;(+-)O odpowiednio dla lewo lub prawostronnej. Jesli istnieja granice dla wartosci m i k i SA one własciwe to mamy granice ukosna Badanie przebiegu zmienności funkcji opiera się na następujących twierdzeniach podstawowych
(…)
… nieoznaczoną (nieokreśloną) funkcji f(x), oznaczoną symbolem
∫f(x)dx
Nazywamy wyrażenie F(x) + C, gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), a C jest dowolną stałą.
Jest więc:
∫f(x)dx = F(x) + C,
gdzie F’(x) = f(x).
Podstawowe wzory:
Podstawowe własności całek:
Całka sumy równa się sumie całek:
∫(f(x) + g(x) )dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
Stały czynnik wolno wynieść przed całkę
∫kf(x)dx = k∫f(x)dx,
k≠0
Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x, mającymi ciągłą pochodną, to
∫udv = uv - ∫vdu
(jest to całkowanie przez części)
Jeżeli dla a ≤ x ≤ b, g(x) = u jest funkcją mającą ciągłą pochodną, oraz A ≤ g(x) ≤ B, a funkcja f(u) jest
ciągła w przedziale [A,B], to:
∫f(g(x))g’(x)dx = ∫f(u)du
Przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić u = g(x) (jest to
wzór na całkowanie przez zmianę…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)