To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Funkcja dwóch zmiennych Funkcją dwóch zmiennych x, y nazywamy przyporządkowanie kaŜdemu punktowi ) ( D y x P ∈ , dokładnie jednej liczby Z z ∈ i zapisujemy: ) ( y x f z f , : = ) ( D y x ∈ , Z z ∈ lub Z D f → : , y x , - zmienne niezaleŜne z - zmienna zaleŜna f - symbol przyporządkowania Granica podwójna funkcji dwóch zmiennych w punkcie. ZałóŜmy, Ŝe funkcja ) ( y x f z , = jest określona w D i niech ) ( D y x P ∈ 0 0 0 , będzie punktem skupienia tego zbioru. Def. (Według Cauchy’ego) Mówimy, Ŝe liczba g jest granicą podwójną funkcji ) ( y x f z , = i zapisujemy ( ) g y x f y y x x = → → , lim 0 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ∧ 0 ε ( )∨0 ε δ ( ) ∧ ∈ D y x P , ( ) ( ) ε δ
(…)
… ) jest
ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym D oraz jeŜeli,
inf f (x, y ) < µ < sup f (x, y )
___
___
( x , y )∈D
( x , y )∈D
To istnieje taki punkt C = ( x0 , y0 ) , Ŝe f (C ) = µ
Tw. Cantora (o ciągłości jednostajnej)
JeŜeli funkcja z = f (x, y ) jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym, to:
∧ (δ∨ ∧ ∧
)ε
ε >0
>0 P1 ∈D P2 ∈D
(0 < dp1 p2 < δ ) ⇒ f (P1 ) − f (P2 ) < ε
Pochodne cząstkowe
Zakładamy…
… przy odpowiednio
∆x → 0 i ∆y → 0 to granice te nazywamy pochodnymi cząstkowymi funkcji f ( x, y ) ze
względu na x i y w P0 = (x0 , y0 ) i zapisujemy:
def .
∂f
(P0 ) = lim f (x0 , y0 + ∆y ) − f (x0 , y0 )
∂y
∆y
∆y → 0
def .
∂f
(P0 ) = lim f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )
∂x
∆x
∆x → 0
Stosujemy takŜe oznaczenia:
∂f
(P0 ) = f x (P0 ) oraz ∂f (P0 ) = f y (P0 )
∂x
∂y
Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych…
… ∂3 f
=
∂x ∂yx ∂yx2
∂ ∂2 f
∂x ∂y 2
∂3 f
= 2
∂y x
∂ ∂2 f
∂y ∂x 2
∂3 f
= 2
∂x y
∂ ∂ 2 f ∂3 f
=
∂y ∂xy ∂xy2
∂ ∂2 f ∂3 f
=
∂y ∂yx ∂y 2 x
∂ ∂2 f
∂y ∂y 2
∂3 f
= 3
∂y
Twierdzenie Schwarza (o równości pochodnych mieszanych)
JeŜeli funkcja z = f (x, y ) ma ciągłe pochodne mieszane rzędu II-ego (III-ego) w obszarze D…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)