To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
CIĄGI
Ciąg arytmetyczny Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o danym pierwszym wyrazie a1 i różnicy r: Wzór na sumę początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego: Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: Ciąg geometryczny Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego o danym pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q: Wzór na sumę początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego: Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: Granica ciągu Jeżeli oraz to Jeżeli ponadto dla oraz , to Jeżeli , jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie , to ciąg sum jego początkowych wyrazów ma granicę: Definicja Ciągiem nazywamy dowolną funkcję , gdzie , zaś X jest dowolnym zbiorem. Zwykle lub . Gdy zbiór I jest skończony, to ciąg również nazywamy skończonym, w przeciwnym wypadku zaś nazywa się go nieskończonym.
Terminologia i symbolika Argumenty funkcji nazywa się indeksami ciągu, dlatego też zbiór nazywa się czasami zbiorem indeksów ciągu.
Wartości tej funkcji określa się mianem wyrazów ciągu, w miejsce zapisu stosuje się zazwyczaj zapis . Dla używane jest też określenie wyraz ogólny, w przeciwieństwie do „konkretnych” wyrazów: .
Jeżeli dla ciągu zachodzi potrzeba zaakcentowania informacji o zbiorze indeksów, to stosuje się oznaczenia: a jeśli to także jeśli zaś to też Jeśli wyrazy ciągu są liczbami ( jest ciałem liczbowym), to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym. Jeśli istnieje potrzeba sprecyzowania zbioru liczb, np. całkowitych, rzeczywistych lub zespolonych, to ciąg nazywa się wówczas odpowiednio: całkowitoliczbowym, rzeczywistym lub zespolonym.
Jeśli wyrazami ciągu są funkcje, to mamy do czynienia z ciągami funkcyjnymi.
Proste przykłady ciąg skończony: ciąg o wartościach i na przemian: ciąg kolejnych nieujemnych liczb parzystych: ciąg kolejnych liczb pierwszych: Definicja ciągu nie wyklucza, że jego elementy mogą się powtarzać. W ciągu z drugiego przykładu dwie jego wartości powtarzają się nieskończenie wiele razy.
Sposoby definiowania ciągów Wypisanie kilku początkowych wyrazów Jeśli reguła wiążąca kolejny indeks z wartością jest szczególnie prosta, definicja sprowadza się do wypisania kilku początkowych wyrazów:
W każdym z powyższych ciągów na podstawie poprzednich wyrazów można odgadnąć kolejny.
Jeżeli ciąg jest skończony, to czasem warto wypisać wszystkie wyrazy, a czasem kilka początkowych i końcowy, np.
Trzy końcowe kropki w takim zapisie oznaczają, że ciąg jest nieskończony; w przypadku skończonego ciągu koniecznie trzeba napisać końcowy wyraz.
(…)
… na różne definicje jest raczej umowny, a wybór definicji danego ciągu wynika z jego specyfiki; co więcej: wiele ciągów można definiować na kilka sposobów, np.
ciąg arytmetyczny można zdefiniować jawnie: an = f(n) = a1 + (n − 1)r;
ciąg silni można zdefiniować wzorem: ciąg naprzemienny an = ( − 1)n można zdefiniować rekurencyjnie Ważniejsze typy ciągów Ciąg stały - funkcja stała o wartościach w zbiorze . Jeżeli warunek na „stałość” funkcji można zapisać tak: dla dowolnego .
Ciąg monotoniczny (rosnący, malejący, niemalejący, nierosnący) - funkcja monotoniczna o wartościach w zbiorze z pewnym porządkiem liniowym (np. zbiór liczb rzeczywistych). Dla ciągów warunek na monotoniczność można zapisać prościej. Np. dla ciągu rosnącego ma on postać (jeżeli ): dla dowolnego .
Ciąg ograniczony - funkcja ograniczona o wartościach w zbiorze z pewnym porządkiem liniowym (np. zbiór liczb rzeczywistych).
Ciąg zbieżny - ciąg mający granicę (właściwą). Jest funkcją o wartościach w dowolnych przestrzeniach metrycznych a nawet w przestrzeniach topologicznych. Ciągi, które nie są zbieżne, nazywa się ciągami rozbieżnymi.
ciąg Cauchy'ego - ciąg spełniający warunek Cauchy'ego. Jest funkcją o wartościach w dowolnych przestrzeniach…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)