To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Ciąg liczbowy nieskończony:
Niech X będzie zbiorem niepustym. Funkcję a : N→X nazywamy ciągiem nieskończonym lub ciągiem. Parę (n, a(n)), gdzie n N, nazywamy n-tym wyrazem ciągu, n- wskaźnikiem tego wyrazu, a(n)- wartością tego wyrazu. Piszemy an zamiast a(n). Ciąg a : N→X zapisujemy również:
Jeżeli a : N→R tzn. wszystkie wartości ciągu (an) należą do zbioru R, to ciąg ten nazywamy ciągiem liczbowym nieskończonym lub ciągiem liczbowym.
Ciąg arytmetyczny:
Ciąg liczbowy (an) nazywamy ciągiem (postępem) arytmetycznym, gdy istnieje liczba r R taka, że dla każdej liczby n N zachodzi an+1 = an + r. Liczbę „r” nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Jeżeli (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy „r” to n-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem
an = a1 + (n − 1)r
Ciąg geometryczny:
Ciąg liczbowy (an) nazywamy ciągiem (postępem) arytmetycznym, gdy istnieje liczba r R taka, że dla każdej liczby n N zachodzi an+1 = an∙q Liczbę „q” nazywamy ilorazem ciągu arytmetycznego.
Jeżeli (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q, to n-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem:
Ciąg rosnący/malejący, Ciąg ściśle rosnący/ściśle malejący:
Niech (an) będzie nieskończonym ciągiem liczbowym.
Ciąg (an) jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego n N zachodzi an≤an+1.
Ciąg (an) jest ściśle rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego n N zachodzi an an+1.
Ciąg ograniczony od góry/od dołu:
Niech (an) będzie nieskończonym ciągiem liczbowym.
Ciąg an) jest ograniczony z góry, gdy istnieje M R takie, że dla każdego n N zachodzi an≤M.
Ciąg (an) jest ograniczony z dołu, gdy istnieje m R takie, że dla każdego n N zachodzi an≥m.
Ciąg (an) jest ograniczony , gdy jest ograniczony z góry i z dołu, to znaczy istnieje M R takie,
że dla każdego n N zachodzi |an |≤ M - M ≤ an≤ M
Granica ciągu dla przypadku gdzie g R:
Niech (an) będzie ciągiem liczbowym nieskończonym oraz niech g R. Mówimy,
że liczba „g” jest granicą ciągu (an), gdy:
Fakt ten zapisujemy:
an→g
Ciąg zbieżny/rozbieżny:
Ciąg (an) nazywamy zbieżnym do g, gdy ma granicę równą g. Ciąg nazywamy zbieżnym, gdy ma granicę skończoną, w przeciwnym przypadku ciąg ten nazywamy rozbieżnym.
(…)
…) będą ciągami liczbowymi
zbieżnymi oraz niech limn→∞an = a, limn→∞bn = b, gdzie a, b R. Wówczas:
Twierdzenie o trzech ciągach:
Niech (an), (bn), (cn) będą ciagami liczbowymi takimi, że
(an)≤(bn)≤(cn) dla prawie wszystkich n N. Jeżeli g R oraz i to Definicja liczby Eulera:
Liczbę Eulera e R defniujemy następująco
Liczba e jest poprawnie określona, gdyż można pokazać, że ciąg jest rosnący i ograniczony z góry. Można również udowodnić, że „e” jest liczbą niewymierną oraz e ≈ 2, 718281
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)