Bezpośrednia metoda Lapunowa

Nasza ocena:

3
Pobrań: 357
Wyświetleń: 2471
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Bezpośrednia metoda Lapunowa - strona 1 Bezpośrednia metoda Lapunowa - strona 2 Bezpośrednia metoda Lapunowa - strona 3

Fragment notatki:

Krzysztof Koz_owski. Notatka składa się z 15 stron.
Stabilno´s´ c otwartych i zamkni¸etych nieliniowych uklad´ ow sterowania. Bezpo´srednia metoda Lapunowa W teorii stabilno´sci nieliniowych uklad´ow sterowania badamy wra˙zliwo´s´c trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz¸atkowego. ( ˙x(t) = f (x(t), u(t), t), t ∈ [t0, ∞), x(t0) = x0) ⇒ ( ˙x(t) = f (x(t), u(t), t), t ∈ [t0, ∞), x(t0) = x0 + δx0). Niech ˘ x(t) b¸edzie wyr´o˙znion¸a trajektori¸a stanu zwi¸azan¸a z wyr´o˙znionym stanem pocz¸atkowym ˘ x0 i z wyr´o˙znionym sterowaniem ˘u(t). Spelnia ona r´ownanie stanu ˙˘x(t) = f(˘x(t), ˘u(t), t), t ∈ [0, ∞), ˘x(t 0) = ˘ x0 Jak zmieni si¸e przebieg wyr´o˙znionej trajektorii stanu, je´sli nast¸api zaburzenie wyr´o˙znionego stanu pocz¸atkowego ? Analiz¸e warunk´ow stabilno´sci nieliniowych uklad´ow sterowania mo˙zna sprowadzi´c dobadania stabilno´sci tzw. zerowego punktu r´ownowagi zredukowanego ukladu sterowania okre´slonego za pomoc¸a przeksztalcenia (˜ x(t) = x(t) − ˘ x(t)) ⇒ (x(t) = ˜ x(t) + ˘ x(t)). R´ownanie stanu wzgl¸edem nowych wsp´olrz¸ednych stanu przybierze posta´c ˙˜x(t) + ˙˘x(t) = f(˜x(t) + ˘x(t), ˘u(t), t), czyli ˙˜x(t) = f(˜x(t) + ˘x(t), ˘u(t), t) − f(˘x(t), ˘u(t), t). Definiuj¸ac praw¸a stron¸e przeksztalconego r´ownania stanu jako ˜ f (˜ x(t), t) = f (˜ x(t) + ˘ x(t), ˘ u(t), t) − f (˘ x(t), ˘ u(t), t) mo˙zemy zapisa´c to r´ownanie w postaci ˙˜x(t) = ˜ f (˜ x(t), t). 1 Rozwi¸azanie zerowe ˜ x(t) = 0 ostatniego r´ownania jest r´ownowa˙zne z wyr´o˙znionym rozwi¸azaniem ˘ x(t) r´ownania pierwotnego. Rozwi¸azanie to jest punktem r´ownowagi ukladu przeksztalconego, gdy˙z ˜ f (0, t) = f (0 + ˘ x(t), ˘ u(t), t) − f (˘ x(t), ˘ u(t), t) = 0. Tak wi¸ec badanie stabilno´sci dowolnej wyr´o˙znionej trajektorii stanu ukladu sterowania mo˙zna sprowadzi´c do badania zerowego punktu r´ownowagi zre- dukowanego ukladu sterowania. • Definicja stabilno´sci asymptotycznej w obszarze: Punkt r´ownowagi xr = 0 zredukowanego ukladu sterowania nazywa si¸e punktem asymptotycznie stabilnym w obszarze D obejmuj¸acym ten punkt, je˙zeli zachodzi implikacja x(t0) ∈ D ⇒ ( lim t→∞ ||x(t)|| = 0), gdzie ||x|| . = ( n i=1 |xi| 2)1/2. • Definicja globalnej stabilno´sci asymptotycznej: Punkt r´ownowagi xr = 0 zredukowanego ukladu sterowania nazywa si¸e punktem globalnie as- ymptotycznie stabilnym, je˙zeli D = Rn. • Definicja lokalnej stabilno´sci asymptotycznej: Punkt r´ownowagi xr = 0 zredukowanego ukladu sterowania nazywa si¸e punktem lokalnie asymp-

(…)

… w przestrzeni unormowanej nazywa
o
si¸ zbiorem zwartym, je˙ eli z ka˙ dego ci¸gu {xk } element´w zbioru X mo˙ na
e
z
z
a
o
z
wybra´ podci¸g {xkl } zbie˙ ny do pewnego elementu x ∈ X.
c
a
z
n
W przestrzeni X ⊂ R zbi´r zwarty to zbi´r domkni¸ty i ograniczony.
o
o
e
• Twierdzenie Weierstrassa: Funkcja ci¸gla F : Rn → R osi¸ga maksia
a
n
mum i minimum na zbiorze zwartym X ⊂ R .
Dow´d: Niech c = supx∈X F (x) (kres…
…´wnaniami stanu ukladu
s
a
o
.
V (x) = f T (x)M f (x),
gdzie f (x) oznacza praw¸ stron¸ r´wnania stanu zredukowanego ukladu sterowaa
e o
nia tj. r´wnania x = f (x).
o
˙
.
Niech J(x) = ∂f (x)/∂x oznacza macierz Jacobiego. W tym zapisie uzyskujemy
f˙(x) = ∂f (x)/∂ x = J(x)f (x), f˙T (x) = f T (x)J T (x)
˙
oraz
˙
V (x) = f˙T (x)M f (x) + f T (x)M f˙(x) = f T (x)J T (x)M f (x) + f T (x)M J(x)f (x)
.
= f T (x…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz