To tylko jedna z 13 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
DEFINICJA Belki zespolone to belki, których przekrój poprzeczny składa się z co najmniej dwóch materiałów o różnych własnościach fizycznych (różne moduły Younga i współczynniki Poissona), przy czym zapewnione jest trwałe połączenie poszczególnych części.
ZAŁOŻENIA Oznaczenia Załóżmy tymczasowo (wyłącznie dla uproszczenia dalszej analizy), że przekrój belki składa się jedynie z dwóch materiałów i przyjmijmy następujące oznaczenia wielkości występujących na rysunku 1 :
y, z - osie główne centralne przekroju traktowanego jak przekrój jednorodny (osie „geometryczne” bez uwzględniania różnych własności materiału) C 1 , C 2 - środki ciężkości odpowiednio: całego przekroju, części „1” i części „2” wyrażone w układzie (y, z) A 1 , A 2 - pola powierzchni odpowiednio: części „1” i części „2” E 1 , E 2 - moduły Younga odpowiednio: materiału części „1” i części „2” Założenia przekrój posiada pionową oś symetrii „z”, a obciążenie leży w płaszczyźnie utworzonej przez tę oś i oś podłużną belki
obowiązuje hipoteza płaskich przekrojów (odkształcenia zmieniają się liniowo po wysokości przekroju)
(1)
jedynym niezerowym naprężeniem normalnym jest naprężenie σ x . Z równań Hooke'a wynika zatem, że w poszczególnych częściach materiału muszą zachodzić relacje:
) (2)
Warunki równoważności sił zewnętrznych i wewnętrznych Przy wyznaczaniu funkcji naprężenia normalnego skorzystamy z twierdzenia o równoważności układu sił zewnętrznych i wewnętrznych. Wynikają z niego następujące równania równowagi
(3)
(4)
gdzie S y1 , S y2 , J y1 , J y2 to odpowiednio momenty statyczne i momenty bezwładności części „1” i „2” obliczone względem geometrycznych osi ciężkości (y, z).
Z równań (3) i (4) widać, że występuje sprzężenie tzw. stanu tarczowego (objawiającego się zmianą długości osi pręta) i giętnego (objawiającego się ugięciem osi pręta). W szczególności z rów. (3) widać, że np. siła osiowa N wywołuje nie tylko odkształcenie osi , ale także jej ugięcie , co jest naturalną konsekwencją różnych własności fizycznych przekroju. Zauważmy, że gdyby materiał był jednorodny, tzn. E 1 =E 2 =E to :
(moment statyczny przekroju wzg. osi ciężkości =0) i stan giętny wywołany siłą podłużną N nie występuje.
Z rów. (4) widać z kolei, że moment zginający powoduje nie tylko ugięcie osi, ale także jej
(…)
… jest przedziałami co najwyżej stała
odkształcenie kątowe γxz (= γzx)we wszystkich punktach prostej z=const.( przekrój α-α) są takie same, tzn. γxz1 = γxz2 Uśrednione naprężenie styczne τxz
warunek równowagi sił
(36)
gdzie (37)
(38)
(39)
(40)
Z prawa Hooke'a oraz na mocy przyjętego założenia o stałych odkształceniach kątowych otrzymujemy relacje:
(41)
(42)
(43)
gdzie :
A1(z), A2(z) - odcięta część przekroju…
… się uśredniony rozkład o stałej wartości Uśrednione naprężenie styczne τxz
przekrój przez materiał „1”
warunek równowagi sił
(24)
(25)
- założenie : siła podłużna N jest przedziałami co najwyżej stała; stąd :
(26)
(27)
(28)
⇒ (29)
gdzie A1(z) oznacza odciętą część przekroju należącą całkowicie do obszaru „1”, - moment statyczny obszaru A1(z) względem osi ważonej y*.
przekrój przez materiał „2”
warunek równowagi sił
(30)
(31)
- założenie : siła podłużna N jest przedziałami co najwyżej stała; stąd :
(32)
(33)
(34)
⇒ (35)
gdzie A2(z) oznacza tę część odciętej części przekroju, która należy do obszaru „2”, oznacza moment statyczny obszaru A1, zaś to moment statyczny obszaru A2(z) względem osi ważonej y*.
Przykłady
Przykład 1. W przekroju zespolonym jak na rysunku obliczyć naprężenie styczne w miejscu połączenia…
…. Korzystając z podanego algorytmu otrzymujemy :
Rozkład naprężeń przedstawia następujący rysunek
Przykład 2. Wyznaczyć rozkład naprężeń normalnych w przekroju zespolonym pokazanym na rysunku. Moment zginający M=490.5 kNm rozciąga włókna dolne, rozciągająca siła podłużna N=500 kN. Część przekroju „1” to dwuteownik „550” wykonany ze stali St3S, materiał „2” to beton B20. E1=210 GPa, E2=23 GPa.
Rozwiązanie…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)