To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Przykład 3.1. Projektowanie przekroju zginanego
Na belkę wykonaną z materiału o wytrzymałości różnej na ściskanie i rozciąganie działają
dwie siły P1 i P2. Znając wartości tych sił, schemat statyczny belki, wartości dopuszczalnego
naprężenia na rozciąganie i ściskanie oraz kształt przekroju poprzecznego wyznacz
minimalną długość a krawędzi przekroju tak aby nigdzie w belce nie nastąpiło przekroczenie
naprężeń dopuszczalnych.
P2=16P
P1=6P
Przekrój A-A
A
2a
A
6a
L
L
L
2a
2a
2a
Dane liczbowe:
P=1kN,
L=1m,
naprężenie dopuszczalne na rozciąganie
naprężenie dopuszczalne na ściskanie
kr=1.2 MPa ,
kc=1.6 MPa.
Uwaga
Szukany wymiar „a” wyznaczymy rozwiązując nierówności będące matematycznym
sformułowaniem warunku nieprzekraczania w żadnym punkcie belki naprężeń
dopuszczalnych kr i kc.
W naszym zadaniu, jak się przekonamy, odległości górnej i dolnej krawędzi belki od osi
obojętnej przy zginaniu są różne, różne są także zadane wartości naprężeń dopuszczalnych kc
i kr , a funkcja momentu gnącego M(x) względem osi belki zmienia znak. W takim zadaniu
musimy sprawdzić maksymalne naprężenia normalne od zginania w dwóch przekrojach belki.
W przekroju, w którym moment gnący osiąga maksimum i w przekroju, w którym osiąga
minimum. W wypadku gdyby kc i kr były jednakowe lub gdyby przekrój poprzeczny miał taki
kształt ,że odległości górnej i dolnej krawędzi belki od osi obojętnej przy zginaniu byłyby
jednakowe wówczas do rozwiązania zadania wystarczy określić największe naprężenie
normalne tylko w tym przekroju, w którym występuje największy co do wartości
bezwzględnej moment zginający.
Rozwiązanie
Rozwiązanie składać się będzie z następujących kroków:
1. obliczenie charakterystyk przekroju poprzecznego belki,
2. wyznaczenie funkcji momentu gnącego,
3. wybranie przekrojów do analizy naprężeń,
4. znalezienie naprężeń normalnych,
5. zapisanie nierówności ograniczającej naprężenia i wyznaczenie szukanej
wielkości.
Wyznaczmy charakterystyki przekroju poprzecznego potrzebne do wyznaczania naprężeń
przy prostym zginaniu.
W celu dokonania obliczeń podzielimy figurę na dwa prostokąty, wyznaczymy środek
ciężkości i wartość momentu bezwładności względem osi poziomej. W obliczeniach
uwzględnimy, że przekrój poprzeczny ma oś symetrii.
Współrzędne środka ciężkości wyznaczamy ze wzoru:
Σ S zi
yc = i
Σ Fi
i
,
We wzorze przyjęto oznaczenia:
Fi - pole powierzchni i-tej figury, na które podzielono cały przekrój,
S zi = Fi y i - jest momentem statycznym względem osi z i-tej figury, na które podzielono cały
przekrój. Moment statyczny względem osi z równy jest iloczynowi pola powierzchni tej
figury przez współrzędną jej środka ciężkości yi.
Rachunki możemy szybko przeprowadzić wykorzystując arkusz kalkulacyjny.
z
2a
I
II
6a
y
2a
2a
2a
Tabela, w której wyznaczamy położenie środka ciężkości
nr figury pole pow.
I
12 [a2]
II
12 [a2]
24 [a2]
Σ
y
1 [a]
5 [a]
3 [a]
Sz
12 [a3]
60 [a3]
72 [a3]
Σ S zi
72a 3
yc =
=
= 3a
Σ Fi
24a 2
i
i
Po wyznaczeniu położenia środka
(…)
… , w którym występuje
ściskanie oznaczono kolorem zielonym, a obszary rozciągane oznaczono kolorem szarym.
Do dalszej analizy wybierzemy dwie ekstremalne wartości naprężenia. Największe
naprężenie rozciągające i największe ściskające.(wybrane wielkości oznaczono kołami)
Zapiszmy warunki nie przekraczania naprężeń dopuszczalnych.
Warunek wytrzymałości na rozciąganie wyraża nierówność:
25[kNm ]
≤ kr = 1.2[ MPa ]
136[a 3…
… należy wyznaczyć wykresy momentu gnącego. Możemy wykonać to
zadanie wykorzystując zasadę superpozycji. Narysujemy łatwe do wyznaczenia wykresy
momentów dla osobno działających sił czynnych P1 i P2. Moment gnący dla jednocześnie
działających sił jest sumą momentów dla sił rozpatrywanych osobno.
M
L
L
6P
L
Wykres momentu gnącego dla belki obciążonej jedynie siła P1=6P
M
L
8PL
16P
L
L
Wykres momentu…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)