To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Przykład 3.5. Zginanie ukośne belki o przekroju prostokątnym
Na belkę działa siła pozioma P i pionowa 2P. Znając wartości tych sił, schemat statyczny
belki, wartości dopuszczalnego naprężenia na rozciąganie i ściskanie oraz kształt przekroju
poprzecznego zaprojektuj wymiar a przekroju belki.
2P
6L
6L
Przekrój belki
8L
4a
P
z
z
y
y
Dane liczbowe:
P=1kN,
L=1m,
naprężenie dopuszczalne na rozciąganie
naprężenie dopuszczalne na ściskanie
kr=1.0 MPa ,
kc=1.0 MPa.
Rozwiązanie
Rozwiązanie składać się będzie z następujących kroków:
obliczenie charakterystyk przekroju poprzecznego belki,
wyznaczenie wykresu momentu gnącego,
wybranie przekrojów „niebezpiecznych” do analizy naprężeń,
znalezienie naprężeń normalnych,
zapisanie warunku wytrzymałości i wyznaczenie szukanej wielkości.
obliczenie charakterystyk przekroju poprzecznego belki
Dla przekroju prostokątnego obliczymy od razu momenty główne centralne.
bh 3 4 ⋅ 33 4
b 3h 4 3 ⋅ 3 4
Iz =
=
a = 9a 4 , I y =
=
a = 16a 4
12
12
12
12
3a
wyznaczenie wykresu momentu gnącego
α
My=4PL
M
2P
My=8PL
β
Mz=6PL
α
β
z
y
W przekroju α- α .składowe momentu gnącego wynoszą:
My= 4PL
Mz= 6PL
W tym przekroju występuje zginanie ukośne. Całkowity moment gnący obliczony jako
pierwiastek z sumy kwadratów momentów składowych wynosi: M=7.22 PL
W przekroju β- β składowe momentu gnącego wynoszą:
My= 8PL
Mz= 0
W tym przekroju występuje zginanie proste.
Obliczymy teraz naprężenia normalne od zginania w obydwu przekrojach.
W przekroju α- α
wyznaczymy naprężenia normalne ze wzoru na zginanie ukośne:
My
Mz
y
Iy
Iz
Oś obojętną wyznaczymy podstawiając w miejsce σ zero.
M
M ⋅I
M
0 = y z − z y ⇒ z = z y y ⇒ z = tg(β ) ⋅ y
Iy
Iz
Iz ⋅ M y
Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy
M z ⋅ I y 6 PL ⋅ 16a 4
tg( β ) =
=
= 2.66
Iz ⋅ M y
9a 4 4 PL
σ =
z−
β = 69 0 26,
2
Obliczmy naprężenia w punktach A i B najdalej leżących od osi obojętnej.
Współrzędne punktów A i B wynoszą:
y A = −1.5a
y B = 1.5a
z A = 2.0a
z B = −2.0a
Po wstawieniu wartości momentów Mz i My otrzymujemy
My
Mz
M
PL
PL
y = 1.5 3 ,
σB =
z − z y = - 1.5 3
Iy
Iz
a
Iy
Iz
a
W przekroju β- β
wyznaczymy naprężenia normalne ze wzoru:
My
σ =
z
Iy
Podstawiając do wzoru moment My , moment bezwładności Iy i współrzędne z punktów
najdalej leżących od osi y obliczymy ekstremalne wartości naprężenia w przekroju β- β.
σA =
My
z−
σA =
My
Iy
z = 1.0
PL
,
a3
σB =
3
My
Iy
z = - 1.0
PL
a3
Maksymalne naprężenia wystąpiły w przekroju α- α.
Zapiszmy warunek wytrzymałości:
σ max = 1.5 PL
a3
≤ kr = 1.0[ MPa]
Powyższa nierówność określa wymiar a: a ≥ 3
1.5PL
.
kr
Po podstawieniu wartości liczbowych
P=1kN,
L=1m,
kr=1.0 MPa ,
otrzymamy:
a 3 ≥ 1500[cm 3 ] ⇒ a ≥ 11.45[cm ] .
Warto zwrócić uwagę, że miejscem, w którym występujące naprężenia normalne
wywołane zadanym obciążeniem decydowały o wymiarach przekroju był przekrój α-α, w
którym moment co do wartości bezwzględnej nie osiąga maksimum.
4
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)