Pierwszy z nich porusza zagadnienia takie jak: funkcje, dziedzina funkcji, przeciwdziedzina funkcji, wykres funkcji, obraz, przeciwobraz, restrykcja funkcji, injekcja, bijekcja, składanie funkcji, odwzorowanie odwrotne.
Drugi plik ma 2 strony i zawiera informacje dotyczące funkcji cyklometrycznych.
Trzeci plik ma 3 strony i porusza zagadnienia takie jak: pochodna funkcji, funkcja różniczkowalna, funkcja pochodna, oznaczenia klas funkcji, pochodna funkcji odwrotnej
Czwarty plik ma 2 strony i zawiera informacje dotyczące funkcji hiperbolicznych.
Piąty plik ma 4 strony i porusza zagadnienia takie jak: twierdzenie Rolle'a, dowód twierdzenia Rolle'a, twierdzenie o wartości średniej, twierdzenie Lagrange'a, wzór Lagrange'a, twierdzenie Cauchy'ego.
Szósty plik ma 4 strony i zawiera informacje dotyczące zagadnień takich jak: twierdzenie Taylora, wzór MacLaurina, błąd rozwinięcia Taylora.
Siódmy plik ma 3 strony i porusza zagadnienia takie jak: ekstrema lokalne, otoczenie punktu, sąsiedztwo punktu, maksimum lokalne, minimum lokalne, ekstremum lokalne, silne ekstremum, warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
Ósmy plik ma 2 strony i porusza zagadnienia takie jak: wypukłość, nadwykres, funkcja wklęsła, funkcja wypukła.
Dziewiąty plik ma trzy strony i zawiera informacje dotyczące reguły de L'Hospitala.
EKSTREMA LOKALNE φ(x = x −δ x +δ ∧δ >
0 )
( 0 , 0 )
0 φ - /fi/; δ - /delta/
φ(x0) - otoczenie punktu x0
φ*(x =φ x \ x
0 )
( 0) { 0}
φ *(x0) - s siedztwo punktu x0
f : X → Rx
0 ∈ X
f ma w x
∃φ
:x ∈φ x
0
0 ≥0 maksimum lokalne, je li:
(x ) f (x ) f (x) dla
( 0)
f ma w x
φ0 minimum lokalne, je li: ∃ (x :x ∈φ x
0 )f (x0 ) ≤ f (x) dla
( 0)
Ekstremum lokalne to minimum lub maksimum lokalne.
Silne ekstremum Funkcja f ma w x
∃φ *
:x ∈φ * x
0
0 >0 silne maksimum lokalne, je li:
(x ) f (x ) f (x) dla
( 0)
Funkcja f ma w x
∃φ *
:x ∈φ * x
0
0 <0 silne minimum lokalne, je li:
(x ) f (x ) f (x) dla
( 0)
Twierdzenie (WK istnienia ekstremum lokalnego)
f : (a,b) → R x ∈
0
(a,b)
~ ∃f (′x ∨ ∃f ′ x ∧ f ′ x =
0 )
( ( 0)
( 0) 0) f - ma ekstremum lokalne w x0
Dowód:
Bez straty ogólno ci mo emy zało y , e f ma w x0 maksimum lokalne.
∃φ(x :x ∈φ x
0 ) f (x0 ) ≥ f (x) dla
( 0)
1 f (x)− f (xf x − f x
0 )
( ) ( 0)
∃ lim
= lim
≤ 0x→ +xx→ +x xxx x
∃f (
0
−
0
−
∈x φ 0
′ xxf ′ x =
0 )
0
( )
0f (x)− f (xf x − f x
0 )
( ) ( 0)
( 0) 0
∃ lim
= lim
≥ 0
x→ −
−
0xx −x→xxx − x
0
∈x φ (0 0x )
0
Twierdzenie
2f ∈ C (a,b)x ∈ a b
0
( , )
f ma silne minimum lokalne w x0 f (′x =
0 )
0f (′x >
0 )
0
Dowód: f ∈
′ C
Niech f (
′ x >
∃φ xf ′ x >x ∈φ x
0 )
0
( 0): ( ) 0 dla
( 0)
Ze wzroru Taylor’a (n=2):
′f (x) = f (f cx + f ′ x x − x +x − x
0 )
( 0 )(
0 )
( )(
)2
0c ∈ x , x ∨ c ∈ x, x
2
, gdzie
( 0 )
( 0 )
Zatem f (x) > f (xf ′ x = ∧ f ′ c > ∧ x − x
>
0
0
0
2
0 ) poniewa :
( )
( )
(
0 )
0 ,
co dowodzi, e f ma w xo silne minimum lokalne.
Twierdzenie
2f ∈ C (a,b)x ∈ a b
0
( , )
f ma silne maksimum lokalne w x0 f (′x =
0 )
0f (′x <
0 )
0 Dowód: f ∈
′ C
Niech f (
′ x <
∃φ xf ′ x <x ∈φ x
0 )
0
( 0): ( ) 0 dla
( 0)
Ze wzroru Taylor’a (n=2):
2 ′f (x) = f (f cx + f ′ x x − x +x − x
0 )
( 0 )(
0 )
( )(
)2
0c ∈ x , x ∨ c ∈ x, x
2
, gdzie
( 0 )
( 0 )
Zatem f (x) < f (xf ′ x = ∧ f ′ c < ∧ x − x
>
0
0
0
2
0 ) poniewa :
( )
( )
(
0 )
0 ,
co dowodzi, e f ma w xo silne maksimum lokalne.
Twierdzenie
2f ∈ C k (a,b)x ∈ a b
0
( , )
(…)
… )) ∧ x ∈ f −1[ Dg ]
I X - identyczno na X
I X (x) = x ∧ x ∈ X
Odwzorowanie odwrotne
f : X →Y
g :Y → X
g f = IX
wtedy g nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do f
i oznaczamy f
f g = IY
Twierdzenie
f :X
Y
∃f
−1
:Y
−1
:= g
X
f −1 ( y ) = x ⇔ f (x) = y, y ∈Y
3
4
Funkcje cyklometryczne (funkcje odwrotne do pewnych restrykcji funkcji trygonometrycznych)
tg (− π , π ) : (− π , π )
2 2
R
2 2
−1
arctg := tg (− π , π…
…:
Twierdzenie:
f ∈ C 2 k ((a, b ))
x0 ∈ (a, b )
f ′(x0 ) = f ′′( x0 ) = f ′′′( x0 ) =
f ( 2 k ) ( x0 ) < 0
= f (2 k −1) (x0 ) = 0
3
f
ma silne maksimum lokalne w x0
4
WYPUKŁO
f:
N f := (x, y ), x ∈ D f , y ≥ f (x )
Nadwykres funkcji
{
}
A ⊂ R n - nazywamy zbiorem wypukłym, je
do A – odcinek je ł cz cy jest zawarty w A.
Funkcja
li dla ka dych dwóch punktów nale
cych
f jest wypukła ku górze (wypukła), je li nadwykres N f funkcji f jest zbiorem
wypukłym.
Nf
Funkcja
f
f jest wypukła ku dołowi (wkl sła), je li funkcja (− f ) jest wypukła ku górze.
f
Obserwacja
f ∈ C 1 ((a, b ))
f - wypukła ku górze
f ∈ C 1 ((a, b ))
f - wypukła ku dołowi
⇔ ∀ x , x0∈(a ,b )∧ x ≠ x0 f (x ) > f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 )
⇔ ∀ x , x0∈(a ,b )∧ x≠ x0 f (x ) < f (x0 ) + f ′(x0 )( x − x0 )
1
Twierdzenie
f ∈ C 2 ((a, b ))
f ′′ > 0
f…
… hiperboliczna
cosh 2 x − sinh 2 x = 1
Inne wzory
cosh 2 x = cosh 2 x + sinh 2 x
sinh 2 x = 2 sinh x ⋅ cosh x
′
(sinh x ) = cosh x
(cosh x )′ = sinh x
1
cosh 2 x
(ctghx )′ = − 1 2
sinh x
(tghx )′ =
1
Dctgh = R \ {0}
Nazwa (sinus hiperboliczny, …) wzi ła si st d, e funkcje
x(t ) = a cosh t
, t∈R
y (t ) = b sinh t
które okre la hiperbol , bo
x 2 (t ) y 2 (t )
− 2 =1
a2
b
2
sinh
i
cosh
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)