To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1. CIĄGI LICZBOWE 1.1 PODSTAWOWE OKREŚLENIA Def. 1.1.1 (ciąg liczbowy) Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych i przyjmującą wartości ze zbioru liczb rzeczywistych. Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n nazywamy n -tym wyrazem ciągu i oznaczamy przez a n , b n , itp. Ciągi o takich wyrazach oznaczamy odpowiednio przez ( a n ), ( b n ), itp. Zbiór wyrazów ciągu ( a n ), tj. zbiór oznaczamy króko przez { a n }.
Obrazowo, ciąg można traktować jako zbiór ponumerowanych liczb rzeczywistych, które są ustawione według rosnących numerów. Ciągi będziemy przedstawiali na płaszczyźnie jako zbiór punktów o współrzędnych ( n,a n ), n N .
Def. 1.1.2 (ciąg ograniczony z dołu) Ciąg ( a n ) jest ograniczony z dołu, jeżeli zbiór { a n } jest ograniczony z dołu, tzn.
.
Obrazowo, ciąg jest ograniczony z dołu, gdy wszystkie jego wyrazy leżą nad pewną prostą poziomą.
Def. 1.1.3 (ciąg ograniczony z góry) Ciąg ( a n ) jest ograniczony z góry, jeżeli zbiór { a n } jest ograniczony z góry, tzn.
.
Obrazowo, ciąg jest ograniczony z góry, gdy wszystkie jego wyrazy leżą pod pewną prostą poziomą.
Def. 1.1.4 (ciąg ograniczony) Ciąg ( a n ) jest ograniczony, jeżeli zbiór { a n } jest ograniczony, tzn.
. Uwaga . W definicji można dobrać stałe m i M , aby 0
(…)
… jest ograniczony, to istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do granicy właściwej.
Def. 1.5.2 (punkt skupienia ciągu)
Liczba a jest punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do granicy a.
Def. 1.5.3 (granice dolna i górna ciągu)
Niech ciąg (an) będzie ograniczony oraz niech S oznacza zbiór punktów skupienia tego ciągu. Granicę dolną ciągu (an) określamy wzorem
.
Podobnie określamy granicę górną ciągu (an)
.
Uwaga. Jeżeli ciąg (an) jest ograniczony z dołu oraz zbiór jego punktów skupienia jest pusty, to przyjmujemy
.
W przypadku ciągu (an) nieograniczonego z dołu przyjmujemy
.
Podobnie, jeżeli ciąg (an) jest ograniczony z góry oraz zbiór jego punktów skupienia jest pusty, to przyjmujemy
.
W przypadku ciągu (an) nieograniczonego z góry przyjmujemy
.
Do oznaczenia granicy dolnej i górnej…
… (o niezależności granicy od początkowych wyrazów ciągu)
Granica ciągu zbieżnego do granicy właściwej lub niewłaściwej nie zależy od wartości skończenie wielu wyrazów tego ciągu.
Fakt 1.2.5 (granice ciągu geometrycznego)
Def. 1.2.6 (podciąg)
Niech (an) będzie dowolnym ciągiem oraz niech (kn) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Podciągiem ciągu (an) nazywamy ciąg (bn) określony wzorem
, .
Obrazowo mówiąc…
… wykładniczą przy podstawie e nazywamy eksponens i oznaczamy przez exp; .
Podane niżej dwa fakty często wykorzystujemy do znajdowania granic ciągów potęgowych.
Fakt 1.3.10 (o ciągach z granicą e)
1. dla każdego 2. 1. dla każdego 2. Uwaga. Pierwszy fakt jest prawdziwy także wtedy, gdy ciąg (an) jest zbieżny do granicy niewłaściwej -, a drugi, gdy ciąg (bn) ma wyrazy ujemne.
1.4 TWIERDZENIA O GRANICACH…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)