Kolokwium z Algebry - V.2012 r.
1. Dana jest macierz
1 −3 3
A = 3 −5 3 .
6 −6 4
a) Wykaż, że −2 jest wartością własną; wyznacz jej krotność algebraiczną i geometryczną;
b) Wyznacz pozostałe wartości własne; wyznacz ich krotności alg. i geom.;1
1
c) Czy L 1 jest podprzestrzenią niezmienniczą tej macierzy?
1
2. W zależności od parametru p zbadaj określoność macierzy
2p p 1
Bp = p p 0 .
1 0 p
3. Dane są wektory
1
0
1
u = 0 , v = −1 , w = 1
0
−1
−1
Wykaż, że można z tych wektorów zbudować trójkąt równoboczny;
(Wsk. Muszą leżeć w jednej płaszczyźnie i . . . )
4. Dany jest zbiór X = (x, y, z) ∈ R3 : 2x − y + z = 0 .
a) Wyznacz bazę ortogonalną (b1 , b2 ) przestrzeni X;
b) Wyznacz wektor b3 taki by układ (b1 , b2 , b3 ) był bazą ortogonalną całej przestrzeni R3 ;
1
1 od przestrzeni X.
c) Wyznacz odległość wektora
1
5. Dane są zbiory A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 5} oraz odcinek P Q łączący punkty P = (1, 2, −1)
i Q = (3, 0, 1).
a) Wyznacz hiperpłaszczyznę rozdzielającą zbiory A i P Q;
b) Czy istnieje hiperpłaszczyzna podpierająca jednocześnie zbiór A i P Q? Jeśli tak, to podaj
przykład takiej hiperpłaszczyzny oraz w jakich punktach podpiera te zbiory.
6. Dane jest odwzorowanie dwuliniowe F : R2 × R2 → R zdefiniowane wzorem
F
x1
y1
,
x2
y2
= 5x1 x2 + 2x1 y2 + 2y1 x2 + y1 y2
a) Uzasadnij, że F jest iloczynem skalarnym;
b) Znajdź wektor prostopadły (w znaczeniu iloczynu skalarnego F ) do wektora c =
c) Wyznacz normę |||c||| (pochodzącą od iloczynu skalarnego F );
d) Podaj przykład bazy ortogonalnej (dla iloczynu skalarnego F ).1
1
Proszę pomyśleć
1
;
−1
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)