MATEMATYKA/2st(MAP1058)
ELEKTRONIKA
LISTA 1. (Miara i całka Lebesgue’a w IRn , przestrzenie liniowe, rozwinięcia ortogonalne.)
1. Niech X będzie dowolnym zbiorem nieskończonym. Pokazać, że rodzina zbiorów
′
A={A ∈ 2X : A jest zbiorem przeliczalnym lub A jest zbiorem przeliczalnym} jest σ-ciałem.
2. Pokazać, że funkcja µ określona na rodzinie zbiorów A z zad.1 jako 0, gdy A jest zbiorem przeliczal′
nym oraz 1, gdy A jest zbiorem przeliczalnym jest miarą.
3. Pokazać, że podzbiór zbioru miary Lebesgue’a zero jest zbiorem miary Lebesgue’a zero.
4. Pokazać, że każdy zbiór przeliczalny jest miary Lebesgue’a zero.
5. Zbadać zbieżność punktową ciągu funkcji fn (x) =
sin nx
√
n
′
oraz zbieżność punktową ciągu (fn (x)).
1
6. Zbadać zbieżność punktową ciągu funkcji fn (x) = n2 x(1 − x2 )n oraz zbieżność ciągu
7. Zbadać zbieżność punktową ciągu funkcji fn (x) = nx(1 − x2 )n oraz zbieżność ciągu
0
1
0
fn (x))dx .
fn (x))dx .
8. Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni generowanej przez wektory (3, 1, 0, −1), (1, 0, 1, 1), (6, 2, 3, 0), (1, 0, −2, −1).
9.
Podać
x
3x
x
bazę i wymiar przestrzeni rozwiązań układów
x + 2y
+ 2y + 3z − t = 0
+ 6y
+ 6y + 7z
= 0
x +
+ 2y + 4z + 2t = 0
równań:
+ 3z − t = 0
+ 7z
= 0
+
+ 2t = 0
10. Sprawdzić, że zbiór V = {p ∈ IR4 [x] : p(1) + p′ (0) = p′ (1) + p′′ (0)} jest podprzestrzenią liniową
przestrzeni wielomianów stopnia 4. Znaleźć bazę w V i okrelić jej wymiar.
11. Wykazać, że dla dowolnego n układ funkcji sin x, sin 2x, . . . , sin nx jest układem liniowo niezależnym
w przesztrzeni funkcji ciągłych na [0, 2π].
12. W przetrzeni IR2 zdefiniowany jest taki iloczyn skalarny ◦, że e1 ◦ e2 = 1 oraz |e1 | = |e2 | = 2.
Obliczyć u ◦ v, jeżeli u = (2, −1) oraz v = (3, 5).
13. Znaleźć rzut ortogonalny u0 wektora u = (1, 0, −1) na podprzestrzeń V = lin{(2, −1, 0), (0, 2, 1)}.
14. Wykazać, że dla dowolnego n układ funkcji sin x, sin 2x, . . . , sin nx jest układem ortogonalnym w
przesztrzeni L2 ([0, 2π]).
15. Sprawdzić, że funkcja f ◦ g = f (−1)g(−1) + f (0)g(0) + f (1)g(1) określa iloczyn skalarny w przestrzeni wielomianów stopnia 2. Wyznaczyć rzut ortogonalny wielomianu f (x) = x2 na podprzestrzeń
generowaną przez funkcje e1 (x) = 1, e2 (x) = x.
16. W przestrzeni L2 ([0, 2π]) wyznaczyć rzut ortogonalny funkcji f (x) = sin 2x na podprzestrzeń generowaną przez funkcje e1 (x) = sin x, e2 (x) = cos x.
17. Wyznaczyć szereg Fouriera w postaci rzeczywistej i zespolonej oraz widmo amplitudowe i fazowe
następujących funkcji:
1)f0 (t) =
2(1 − 2|t|) dla |t|
1
,
2
1
,
2
0
2) f3 (t) =
1
dla
2
dla
1
dla
okresowo dla
1 2,
MATEMATYKA/2st(MAP1058)
ELEKTRONIKA
LISTA 2. (Zmienne losowe wielowymiarowe, warunkowa wartość oczekiwana.)
1. Niech (Ω, F,P ) będzie przestrzenią probabilistyczną i niech A będzie ustalonym zdarzeniem o prawdopodobieństwie dodatnim. Pokazać, że funkcja PA określona na F wzorem PA (B) = P (B|A) jest
miarą
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)