To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Zestaw 6.
Struktury algebraiczne (cz. II)
Zadanie 1. Sprawdzi´ , czy struktura algebraiczna (X; +; F; )1 jest przestrzenia wekc
¾
torowa, jezeli:
¾ ·
a) X = F n oraz
+
: X
: F
X 3 ((x1 ; : : : ; xn ) ; (y1 ; : : : ; yn )) ! (x1 + y1 ; : : : ; xn + yn ) 2 X
X 3 ( ; x1 ; : : : ; xn ) ! ( x1 ; : : : ; xn ) 2 X;
b) X = F n oraz
+
: X
: F
X 3 ((x1 ; : : : ; xn ) ; (y1 ; : : : ; yn )) ! (x1 + y1 ; : : : ; xn + yn ) 2 X
X 3 ( ; x1 ; : : : ; xn ) ! ( x1 ; 0; : : : ; 0) 2 X;
df
c) X = F A = ff : A ! F g oraz
+
: X
: F
X 3 ( ; ') ! + ' 2 X
X 3 ( ; ') ! ' 2 X;
df
d) F = R, X = n = fx ! a0 + a1 x + : : : + an xn : ai 2 R; i = 0; : : : ; ng
z naturalnymi dzia÷
aniami dodawania wielomianów i mnozenia wielomianu
·
przez liczbe;
¾
e) F = C, X = R oraz
+
: X
: F
X 3 (x; y) ! x + y 2 X
X 3 ( ; x) ! x 2 F ;
f ) F = R, X = ff : R ! R : f ( x) = f (x)g z naturalnymi dzia÷
aniami dodawania funkcji i mnozenia funkcji przez liczbe;
¾
·
g) F = R, X = ff : R ! R : f ( 1) = f (1) = 0g z naturalnymi dzia÷
aniami
dodawania funkcji i mnozenia funkcji przez liczbe.
¾
·
Zadanie 2. Sprawdzi´ czy:
c
Pn
a) Y = f(x1 ; : : : ; xn ) 2 Rn : i=1 xi = ag, dla pewnego a 2 R, jest podprzestrzenia wektorowa przestrzeni (Rn ; +; R; );
¾
¾
b) Y = ff : R ! R : f ( x) = f (x)g jest podprzestrzenia wektorowa przes¾
¾
trzeni funkcji prowadzacych z R w R z naturalnymi dzia÷
¾
aniami + i .
Zadanie 3. Sprawdzi´ , czy:
c
a) Jezeli Y1 ; : : : ; Yn sa podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni X , to
¾
·
jest podprzestrzenia wektorowa przestrzeni X .
¾
¾
b) Jezeli Y1 ; : : : ; Yn sa podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni X , to
¾
·
jest podprzestrzenia wektorowa przestrzeni X .
¾
¾
1X
– zbiór niepusty, F – cia÷ + – dzia÷
o,
anie wewn etrzne,
¾
1
– dzia÷
anie zewn etrzne.
¾
n
\
Yk
n
[
Yk
k=1
k=1
Zadanie 4. W oparciu o poprzednie zadanie uzasadni´ , ze
c ·
Y = (x; y; z) 2 R3 : x + 2y
z = 0; x = 2z
jest podprzestrzenia wektorowa przestrzeni R3 ; +; R; .
¾
¾
Zadanie 5.* Niech U i V beda podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni X .
¾ ¾
Uzasadni´ , ze
c ·
U [ V –podprzestrze´ wektorowa X , U
n
V lub V
U.
Zadanie 6. Sprawdzi´ liniowa zalezno´ c wektorów w podanych przestrzeniach wekc
¾
· s´
torowych (z naturalnymi dzia÷
aniami + i ):
a) (1; 0), (1; 1), (0; 1) w R2 ; +; R;
p
b) 2 i 2 w (R; +; R; );
p
c) 2 i 2 w (R; +; Q; );
;
d) 1; x; x2 ; : : : ; xn w ( n ; +; R; )2 ;
p
e) 1; x; x + 2; x2 ; : : : ; xn w ( n ; +; Q; );
df
f ) 1; sin x; cos x w (C (R) ; +; R; ), gdzie C (R) = ff : R ! R : f –ciag÷
¾ ag;
g) 1; sin x; cos x; sin2 x; cos2 x w (C (R) ; +; R; ).
Zadanie 7. Wyznaczy´ bazy podanych przestrzeni wektorowych (z naturalnymi
c
dzia÷
aniami + i ):
a) (
n ; +; R;
);
df
b) (P2n ; +; R; ), gdzie P2n = fw 2
2n
: w(x) = w( x)g;
c) (C; +; R; );
d) (
n
(a) ; +; R; ), gdzie
df
n
(a) = fw 2
n
: w(a) = 0g.
Zadanie 8.* Wyznaczy´ wymiar przestrzeni wektorowej (R; +; Q; ). Dzia÷
c
ania +
oraz to naturalne dzia÷
ania dodawania i mnozenia liczb.
·
Zadanie 9. Pokaza´ ,
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)