3. CAŁKI POWIERZCHNIOWE NIEZORIENTOWANE
3.1 PŁATY POWIERZCHNIOWE
Def. 3.1.1 (funkcja wektorowa dwóch zmiennych w przestrzeni)
a) Niech D będzie obszarem na płaszczyźnie. Funkcją wektorową dwóch zmiennych w przestrzeni nazywamy odwzorowanie
r : D R 3 . Funkcję taką będziemy zapisywać w postaci
r (u, v) x(u, v), y(u, v), z(u, v) , gdzie (u, v) D .
Rys. 3.1.1 Funkcja wektorowa r : D R 3
b) Mówimy, że funkcja wektorowa r : D R 3 jest różnowartościowa, gdy dla dowolnych punktów (u1,v1), (u2,v2) D
prawdziwa jest implikacja
(u1 , v1 ) (u 2 , v2 ) r (u1 , v1 ) r (u 2 , v2 ) .
c) Mówimy, że funkcja wektorowa r : D R 3 jest ciągła, gdy funkcje x, y, z są ciągłe na D.
d) Mówimy, że funkcja wektorowa r : D R 3 jest różniczkowalna w sposób ciągły, gdy funkcje x, y, z mają ciągłe
wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze D.
Def. 3.1.2 (płat powierzchniowy)
Niech D będzie prostokątem na płaszczyźnie oraz niech funkcja wektorowa
r : D R 3 , gdzie
r (u, v) x(u, v), y(u, v), z(u, v) dla (u, v) D , będzie ciągła i różnowartościowa na prostokącie D. Płatem powierzchnio
wym nazywamy zbiór wartości funkcji wektorowej r , tj. zbiór:
r (u, v) : (u, v) D.
Zbiór w przestrzeni taki, że każdy jego punkt ma otoczenie domknięte, które jest płatem prostym, nazywamy płatem powierzchniowym.
Uwaga. Funkcję wektorową r lub układ funkcji x, y, z nazywamy parametryzacją płata . Płat prosty można wyobrazić sobie
jako powyginany w przestrzeni prostokąt. Przy tym przekształcaniu prostokąta nie można rozrywać ani sklejać.
Rys. 3.1.2 Zbiór nie jest płatem
powierzchniowym
Rys. 3.1.3 Zbiór jest płatem
powierzchniowym
Def. 3.1.3 (płat powierzchniowy gładki)
Płat powierzchniowy r (u, v) : (u, v) D, gdzie D jest obszarem domkniętym z brzegiem kawałkami gładkim, a funkcja
wektorowa r (u, v) x(u, v), y(u, v), z (u, v) jest różnowartościowa i różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze D, nazywamy płatem gładkim, gdy na obszarze D spełniony jest warunek
r r
0,
u v
gdzie
r x y z
r x y z
, , oraz
, , .
u u u u
v v v v
Płat, który można podzielić na skończoną liczbę płatów gładkich, nazywamy płatem kawałkami gładkim.
Rys. 3.1.4 Płat powierzchniowy gładki
Rys. 3.1.5 Płat powierzchniowy kawałkami gładki
Fakt 3.1.4 (równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych)
1. Płaszczyzna przechodząca przez punkt r0 ( x0 , y 0 , z 0 ) i rozpięta na wektorach a ( x1, y1, z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) ma
przedstawienie parametryczne:
x x 0 ux1 vx2
: y y 0 uy1 uy 2
z z uz vz
0
1
2
u R, v R .
W formie wektorowej parametryzacja płaszczyzny ma postać:
: r r0 ua vb
2.
Sfera o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r 0 ma przedstawienie parametryczne:
x r cos u cos v
: y r sin u cos v
z r sin v
3.
u R, v R .
Powierzchnia
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)