Dokument ma 8 stron i zawiera wzory oraz interpretację geometryczną. W notatce znajdują się rysunki mające ułatwić zrozumienie tematu, definicja całki powierzchniowej zorientowanej, twierdzenia oraz ich dowody, przykłady, twierdzenie Gaussa ? Ostrogradskiego, twierdzenie Stokesa.
Całka powierzchniowa zorientowana (całka powierzchniowa funkcji wektorowej)
Niech S - gładki płat powierzchniowy.
Płat orientujemy czyli rozróżniamy jego strony: dodatnią . W każdym punkcie płata zorientowanego prowadzimy wektor normalny o zwrocie od strony ujemnej do dodatniej.
Orientacja płata S wyznacza jednoznacznie orientację krzywej .
Krzywa K jest zorientowana dodatnio, gdy obiegając krzywą K zgodnie ze wzrostem parametru wektor normalny mamy po stronie lewej.
Jeśli S jest powierzchnią zamkniętą, to przyjmujemy, że jej zewnętrzna strona jest stroną dodatnią; a wewnętrzna - ujemną.
Niech - wersor normalny do płata S. Ponieważ , więc wersor normalny zadany jest wzorem
, gdzie są kątami między wektorem a dodatnimi półosiami .
Niech - pole wektorowe określone na płacie S,
,
oraz niech
.
W każdym punkcie płata S tworzymy iloczyn skalarny
.
Wartość tego iloczynu jest długością rzutu wektora na prostą normalną, bo .
Ponieważ
całka powierzchniowa niezorientowana Definicja
Całkę powierzchniową niezorientowaną funkcji , czyli nazywamy całką powierzchniową zorientowaną funkcji wektorowej na płacie zorientowanym S i oznaczamy symbolem
.
Uwaga
Jeśli zmienimy orientację płata S na przeciwną, to
czyli
.
Niech S - powierzchnia regularna, tzn. powierzchnia która jest sumą płatów gładkich .
Uwaga
Istnieją powierzchnie jednostronne (np. wstęga Mbiusa)
Zatem nie każdą powierzchnię regularną można zorientować.
Definicja
Niech powierzchnia regularna dwustronna, , gdziepłat gładki dla .
Wtedy definiujemy
.
Uwaga
bo
Twierdzenie 1
Niech płat powierzchniowy zorientowany,
,
.
Wtedy całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :
,
całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :
.
Dowód
Ponieważ płat S zadany jest w postaci jawnej , więc wektor normalny jest postaci
lub .
Niech Wtedy oraz
Zatem
Dowodzimy analogicznie.
Twierdzenie 2
Niech płat powierzchniowy zorientowany,
,
.
Wtedy całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :
,
całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :
.
Twierdzenie 3
Niech płat powierzchniowy zorientowany,
,
.
Wtedy całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :
,
całka powierzchniowa po dolnej stronie płata
(…)
… zadany jest równaniami parametrycznymi
, gdzie ,
oraz
,
to
.
Dowód
Twierdzenie (Stokesa)
Jeżeli , gdzie S jest dwustronną powierzchnią gładką ograniczoną krzywą regularną przestrzenną zamkniętą K, oraz orientacja powierzchni S jest zgodna z orientacją krzywej ,
to
Uwaga
Jeśli powierzchnia S jest płaskim obszarem w płaszczyźnie OXY, to , i z twierdzenia Stokesa otrzymujemy twierdzenie Greena.
Twierdzenie…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)