Tematem notatki jest całka powierzchniowa niezorientowana, całka powierzchniowa funkcji skalarnej. W treści notatki pojawiają się następujące zagadnienia: całka powierzchniowa niezorientowana, pole skalarne określone na płacie S o wartościach w zbiorze R, twierdzenie o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną, gładki płat powierzchniowy, równania parametryczne, interpretacja geometryczna i fizyczna całki powierzchniowej niezorientowanej, wektor normalny, parametryzacja, współrzędne sferyczne.
Całka powierzchniowa niezorientowana
(całka powierzchniowa funkcji skalarnej)
Niech S - płat powierzchniowy,
, gdzie ,
F - pole skalarne określone na płacie S o wartościach w zbiorze R, ,
.
Wtedy płat S dzielimy na n płatów , ,…, o polach dla i=1,2,…,n
w każdym z płatów wybieramy po jednym punkcie , i=1,…,n
tworzymy sumę Definicja
Jeśli przy , i przy istnieje granica niezależna od sposobu podziału płata i wyboru punktów Mi, to granicę tę nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną funkcji F po płacie S i oznaczamy Twierdzenie 1 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną)
Niech S - gładki płat powierzchniowy zadany równaniem , gdzie ,
.
Wtedy
Można sformułować analogiczne dwa twierdzenia:
Twierdzenie 2
Jeśli S - gładki płat powierzchniowy zadany równaniem , gdzie ,
oraz ,
to
Twierdzenie 3
Jeśli S - gładki płat powierzchniowy zadany równaniem , gdzie ,
oraz .
to
Twierdzenie 4 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną)
Niech S - gładki płat powierzchniowy dany równaniami parametrycznymi
, oraz niech . Wtedy
, gdzie jest wektorem normalnym odpowiadającym powyższej parametryzacji,
Definicja Niech S - powierzchnia regularna
, gdzie - płat gładki, i=1,…,n.
Wtedy definiujemy
.
Interpretacja geometryczna i fizyczna całki powierzchniowej niezorientowanej
- pole płata powierzchniowego S.
- gęstość powierzchniowa masy płata S - masa płata S.
Przykład Obliczyć , gdzie
S jest częścią parabolidy wyciętej walcem .
Na podstawie twierdzenia 3 o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną
zatem
Przykład *
Obliczyć , gdzie , , .
Ponieważ S jest półsferą, więc wygodnie jest wykorzystać współrzędne sferyczne do uzyskania parametryzacji sfery,
S: , gdzie , .
Zatem
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)