4. CAŁKI POWIERZCHNIOWE ZORIENTOWANE I ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ
4.1 DEFINICJA I WŁASNOŚCI CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ ZORIENTOWANEJ
Def. 4.1.1 (płat powierzchniowy zorientowany)
Płat powierzchniowy dwustronny, na którym wyróżniono jedną ze stron, nazywamy płatem powierzchniowym zorientowanym. Wyróżnioną stronę płata zorientowanego nazywamy stroną dodatnią. Płat zorientowany oznaczamy tym samym symbolem co płat. Płat powierzchniowy zorientowany przeciwnie do płata zorientowanego oznaczamy przez – .
Dla płatów zamkniętych ograniczających pewien obszar w przestrzeni za stronę dodatnią płata przyjmujemy z reguły jego
stronę zewnętrzną. Dla płatów będących wykresami funkcji postaci z = f(x,y), x = g(y,z), y = h(x,z) za stronę dodatnią przyjmujemy zwykle górną część takiego płata.
Rys. 4.1.1 Płat powierzchniowy jednostronny
Rys. 4.1.2 Płat powierzchniowy dwustronny;
wykres funkcji z = f(x,y)
Fakt 4.1.2 (postać wersora normalnego płata)
Niech płat gładki zorientowany ma przedstawienie parametryczne r (u, v) : (u, v) D. Wtedy wersor normalny n do
płata wystawiony w punkcie (x0, y0, z0) tego płata, odpowiadającym punktowi (u0, v0) obszaru D w powyższej parametryzacji
wyraża się wzorem:
r r
n u v ,
r r
u v
gdzie wektory
r
r
oraz
są obliczone w punkcie (u0, v0). Znak stojący przed wersorem n ustala się na podstawie orientau
v
cji płata . Przyjmujemy, że wersor normalny jest skierowany od strony ujemnej do dodatniej płata zorientowanego.
Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y) D, to wersor normalny n do płata wystawiony w
punkcie (x0, y0, z0) tego płata, gdzie z0 = z(x0, y0), wyraża się wzorem:
p
q
1
n
,
,
1 p2 q2 1 p2 q2 1 p2 q2
gdzie p
,
z
z
( x 0 , y 0 ) , q ( x 0 , y 0 ) . Wersor normalny n można przedstawić w postaci n (cos , cos , cos ) , gdzie
x
y
, , oznaczają kąty między tym wersorem, a dodatnimi częściami osi Ox, Oy, Oz.
Rys. 4.1.3 Wersor normalny do płata zorientowanego
Rys. 4.1.4 Kosinusy kierunkowe wektora normalnego n
Def. 4.1.3 (całka powierzchniowa zorientowana)
Niech F ( P, Q, R) będzie polem wektorowym na płacie gładkim zorientowanym . Całkę powierzchniową zorientowaną z
pola wektorowego F po płacie definiujemy wzorem:
def
P( x, y, z) dy dz Q( x, y, z) dz dx R( x, y, z) dxdy
F ( x, y, z) n( x, y, z)dS
P( x, y, z ) cos Q( x, y, z ) cos R( x, y, z ) cos dS
gdzie n (cos , cos , cos ) oznacza wersor normalny do płata zorientowanego wystawiony w punkcie (x,y,z) tego płata.
Uwaga. W zapisie wektorowym powyższa definicja przyjmuje postać:
def
F (r ) dS F (r ) n (r ) dS ,
def
gdzie dS (dydz , dzdx, dxdy ) . Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego F po płacie oznaczamy też
krótko
P dy dz Q dz dx R dxdy , a w notacji wektorowej F dS .
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)