Wielomiany - tematy zadań

Nasza ocena:

3
Pobrań: 21
Wyświetleń: 1869
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wielomiany - tematy zadań - strona 1

Fragment notatki:

Tematem zadań są wielomiany. Zadania dotyczą również kwestii takich jak: baza ortogonalna podprzestrzeni rozpiętej na wektorach, wymiar i baza podprzestrzeni, zależność wektorów.
Dodatkowo w notatce możemy znaleźć twierdzenia, definicje i przykłady dotyczące tematu.

Zad 8.
Udowodnij, że zbiór wielomianów stopnia n jest przestrzenią liniową;
Wykaż, że zbiór wielomianów stopnia n>0 nie jest przestrzenią liniową.
Zad 9.
Wykaż, że zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb wymiernych.
Zad 10.
Udowodnij, że zbiór rozwiązań równania 2x-y=a jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R2 dla a=0, a dla a=1 nie jest.
Zad 11.
Pokaż, że rozwiązanie układu równań: 2x+3y-2z=0 i 3x+4y-2z=0 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R3, a rozwiązanie układu: 2x+3y-2z=0 i 3x+4y-2z=1 nie jest .
Zad 12.
Wykaż, że jeśli U i W są podprzestrzeniami przestrzeni liniowej E, to V=U+W={x=u+w: u∈U; w∈W} jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej E.
Wprowadźmy oznaczenie:
P(E) - jest to rodzina wszystkich podprzestrzeni przestrzeni liniowej E (nad ciałem liczb rzeczywistych)
Twierdzenie 1
Iloczyn (przecięcie) dowolnych podprzestrzeni przestrzeni E jest podprzestrzenią E.
Definicja
Otoczką liniową dowolnego zbioru wektorów A nazywa się najmniejszą podprzestrzeń zawierającą ten zbiór. Oznaczamy ją: Mówimy, że podprzestrzeń spanA jest rozpięta na zbiorze A (lub generowana przez A).
Definicja
Mówimy, że zbiór G⊂E generuje przestrzeń E, jeżeli spanG=E.
Definicja
Zbiór wektorów D nazywamy zbiorem wektorów liniowo zależnych, jeżeli istnieje podzbiór właściwy M≠D, M⊂D rozpinający tę samą przestrzeń, co dany zbiór. Możemy to zapisać:
Przykład 1. Niech: D={[1, 0, 0] ; [0, 1, 0]}∪{[2, 2, 0]}
Wówczas D≠M={[1, 0, 0] ; [0, 1, 0]}
Definicja
Zbiór wektorów D nazywamy zbiorem wektorów liniowo niezależnych, jeżeli żaden podzbiór właściwy M nie rozpina tej samej podprzestrzeni co dany zbiór.
Uwaga 1.
Wektory x1;x2;...;xn tworzą zbiór wektorów liniowo zależnych wtedy i tylko wtedy (WTW), gdy wektor 0 jest ich nietrywialną kombinacją, czyli:
Uwaga 2.
Wektory x1;x2;...;xn tworzą zbiór wektorów liniowo niezależnych WTW, gdy wektor 0 jest ich trywialną kombinacją, czyli:
Przykład 2.
W przestrzeni Rn wektory ei=(0,0,...,0,ai,0,...,0) ; ai≠0 ; i∈{1,2,...,m} ; n≥m tworzą zbiór wektorów liniowo niezależnych.
Przykład 3.
b) Dowolny różny od zerowego wektor tworzy zbiór wektorów liniowo niezależnych.
Dwa wektory nierównoległe tworzą zbiór wektorów liniowo niezależnych.
Trzy wektory parami nierównoległe i nie leżące na jednej płaszczyźnie tworzą zbiór wektorów liniowo niezależnych.
Definicja
Podzbiór B⊂E nazywamy bazą, jeżeli generuje całą przestrzeń E i jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych.


(…)

… niezależnych.
Twierdzenie 4.(ortogonalizacja Grama - Schmidta)
Jeżeli e1,e2,...,ek jest układem ortogonalnym różnych od zera wektorów przestrzeni E i wektor x∈E nie jest kombinacją liniową tych wektorów, to istnieje αi i należy [1, 2,...,k], że:
jest niezerowy i ortogonalny do każdego z wektorów ei. Wówczas .
Zadanie 1. Zbadać liniową zależność wektorów: a = (-3 1 2); b = (1 0 1); c = (6 -2 -4).
Zadanie 2…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz