Przestrzeń liniowa
Niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych, - dowolnym niepustym zbiorem. Na elementach zbioru określone są dwa działania:
dodawanie dwóch elementów zbioru dla dowolnych ,
mnożenie elementu zbioru przez element zbioru , dla dowolnego oraz .
Zbiór z tak określonymi działaniami nazywamy przestrzenią liniową, jeżeli spełnione są następujące warunki, zwane aksjomatami przestrzeni liniowej:
A1. przemienność dodawania
, dla dowolnych ,
A2. łączność dodawania
, dla dowolnych ,
A3. istnienie elementu neutralnego dodawania (elementu zerowego)
istnieje takie, że , dla dowolnego ,
A4. istnienie elementu przeciwnego
dla dowolnego istnieje taki, że ,
A5. rozdzielność mnożenia względem dodawania
, dla dowolnych , ,
A6. rozdzielność dodawania względem mnożenia
, dla dowolnych , ,
A7. łączność mnożenia
, dla dowolnych , ,
A8. istnienie elementu neutralnego mnożenia (jedynki)
, dla dowolnego .
Uwaga Dla dowolnych można określić różnicę . Tak określone działanie nazywamy odejmowaniem elementów przestrzeni .
Przykłady
- zbiór liczb rzeczywistych.
- zbiór par liczb rzeczywistych, , , ,
, , ,
,
, .
- zbiór trójek liczb rzeczywistych, , , , , , , ,
, .
- zbiór funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
, ,
,
.
Zbiór nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej , jeżeli
, dla dowolnych oraz .
Przykłady
1. , .
2. - zbiór funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
.
Uwaga
Przestrzeń liniową nazywa się także przestrzenią wektorową, a jej elementy wektorami.
Jeżeli , to wektor można zapisać w postaci
- wektor wierszowy
lub w postaci
- wektor kolumnowy.
Jeżeli , to wektor można zapisać w postaci
- wektor wierszowy
lub w postaci
- wektor kolumnowy.
Ogólniej, jeżeli
(…)
…
.
Kombinacją liniową wektorów , , nazywamy wektor
,
gdzie , .
Wektory , , nazywamy liniowo niezależnymi, jeżeli równość
,
gdzie jest wektorem zerowym przestrzeni , zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy . Wektory, które nie są liniowo niezależne nazywamy liniowo zależnymi.
Można stwierdzić, że jeżeli zachodzi równość
oraz istnieje takie, że , , to wektory są liniowo zależne.
Przykłady
Wektory , są liniowo…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)