To tylko jedna z 13 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Zagadnienia do egzaminu 1. Przestrzeni afiniczna - określenie i przykłady. 2. Suma punktu i wektora - określenie i własności. 3. Podprzestrzeń afiniczna. 4. WKW na to by podzbiór przestrzeni afinicznej był jej podprzestrzenią [Dowód] . 5. Podprzestrzeń styczna, Wymiar podprzestrzeni afinicznej. 6. Równoległość podprzestrzeni afinicznych. 7. Niepusty przekrój podprzestrzeni afinicznych ( jest podprzestrzenią afiniczną ). 8. Podprzestrzeń rozpięta na układzie punktów - określenie i podstawowe własności. 9. Równanie kierunkowe podprzestrzeni af ( P 1 , . . . , Pn ) [Dowód] . 10. Układy punktów w położeniu ogólnym i szczególnym. 11. Baza punktowa. 12. Punkty współliniowe i współpłaszczyznowe. 13. Układ bazowy, współrzędne punktu w układzie bazowym. 14. Podprzestrzenie afinicznej przestrzeni współrzędnych A ( Kn ) ( są zbiorami rozwiązań układów równań li- niowych ) [Dowód] . 15. Proste w przestrzeni A ( K 2). 16. Proste i płaszczyzny w przestrzeni A ( K 3). 17. Określenie przekształcenia afinicznego, przekształcenie styczne. 18. WKW na to aby odwzorowanie przestrzeni afinicznych było przekształceniem afinicznym [Dowód] . 19. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności przekształcenia afinicznego z zadanym obrazem punktu i częścią liniową [Dowód ] . 20. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności przekształcenia afinicznego zadanego na bazie punktowej [Do- wód] . 21. Określenie rzutu afinicznego, symetrii afinicznej, translacji, jednokładności. 22. Postać przekształcenia afinicznego A ( Kn ) → A ( Km ). 23. Przestrzeń euklidesowa. 24. Kryterium Sylwestera. 25. Przestrzeń E (R n ) ( n -wymiarowa przestrzeń euklidesowa ze zwykłym iloczynem skalarnym). 26. Macierz Grama układu wektorów. 27. Macierz Grama układu wektorów stanowiącego bazę przestrzeni ( jest równa macierzy funkcjonału w tej bazie .) 28. Związek pomiędzy macierzami Grama w różnych układach ( G ( β 1 , . . . , βk ) = P T · G ( α 1 , . . . , αk ) · P ). 29. Własności wyznacznika Grama (przy zmianie kolejności wektorów, przy zamianie wektorów na przeciwne). 30. Podstawowe własności wyznacznika Grama układu wektorów ( (1) jest nieujemny, (2) zeruje się ⇔ układ jest liniowo zależny ) [Dowód] . 31. Podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej ( jest przestrzenią euklidesową ). 32. Prostopadły układ niezerowych wektorów w przestrzeni euklidesowej ( jest liniowo niezależny ) [Dowód] . 33. Ortogonalne uzupełnienie zbioru (wektora). 34. Hiperpłaszczyzna w przestrzeni
(…)
… w układzie bazowym.
Podprzestrzenie afinicznej przestrzeni współrzędnych A(K n ) (są zbiorami rozwiązań układów równań liniowych) [Dowód].
Proste w przestrzeni A(K 2 ).
Proste i płaszczyzny w przestrzeni A(K 3 ).
Określenie przekształcenia afinicznego, przekształcenie styczne.
WKW na to aby odwzorowanie przestrzeni afinicznych było przekształceniem afinicznym [Dowód].
Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności…
… i jej własności.
Nierówność Schwarza [Dowód].
Twierdzenie Pitagorasa (dla normy euklidesowej).
Kąt pary wektorów i jego miara.
Własności miary kąta.
Kat zorientowany pary wektorów.
Równoległościan i jego miara.
Wzór wyrażający miarę równoległościanu poprzez miarę jego „podstawy” i „wysokość”
( µn (R(α1 , . . . , αn )) = ||πlin (α1 ,...,αn−1 ) (αn )|| · µn−1 (R(α1 , . . . , αn−1 ) ) [Dowód].
Automorfizm…
… zaczepionego w punkcie P i rozpiętego na układzie wektorów (α1 , . . . , αk )
i jego miary.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
Podaj definicję odległości dwóch punktów w afinicznej przestrzeni euklidesowej E.
Sformułuj twierdzenie Pitagorasa w afinicznej przestrzeni euklidesowej.
Podaj definicję odległości punktu od zbioru w afinicznej przestrzeni euklidesowej.
Sformułuj twierdzenie o odległości punktu od podprzestrzeni…
… składowej prostopadłej wektora [Dowód].
Wektor normalny hiperpłaszczyzny.
Podprzestrzeń przestrzeni E(Rn ), jako ortogonalne uzupełnienie zbioru wektorów.
Bazy zgodnie i przeciwnie zorientowane, orientacja przestrzeni euklidesowej.
Określenie iloczynu wektorowego.
Twierdzenie o postaci iloczynu wektorowego [Dowód].
Wzór na iloczyn wektorowy w przestrzeni E(Rn ).
Długość wektora, norma euklidesowa…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)