To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Aksjomatyczna postać rachunku zdań. Prawa rachunku zdań mogą być ujmowane w rozmaite systemy aksjomatyczne, zależne od wyboru aksjomatów i reguł wnioskowania. Wszystkie te systemy budowane są w oparciu o jedną metodę, którą można opisać mniej więcej w następujący sposób:
Pierwszy etap budowy systemu polega na zebraniu pewnej (różnej w różnych systemach) ilości pierwotnych terminów, aksjomatów i definicji. Zwykle na początku obiera się pewne spójniki (funktory zdaniotwórcze) jako terminy pierwotne. Następnie za pomocą tych spójników, oraz symboli literowych, reprezentujących zmienne zdaniowe, a dalej znaków przestankowych i kwantyfikatorów formułuje się pewne twierdzenia wyjściowe, czyli aksjomaty, na których będzie opierał się cały system. W drugim kroku, na zasadzie definiowania, bez dowodów, wprowadza się do systemu inne potrzebne spójniki, poza tymi przyjętymi jako terminy pierwotne i niezdefiniowane. Nowe spójniki definiuje się za pomocą spójników przyjętych jako terminy pierwotne. Takie definicje mają formę dwuczłonowych zdań równoważnościowych, których pierwszy człon stanowi właśnie definiowany spójnik, a drugi przedstawia równoważnik definiowanego spójnika, wyrażony za pomocą spójników pierwotnych. Definicje można traktować jako matryce definiowanych spójników.
Następny etap polega na wyprowadzeniu z przyjętych aksjomatów twierdzeń uznawanych w danym systemie rachunku zdań za prawa tegoż rachunku. Twierdzenia wyprowadza się w oparciu o pewne reguły. Zwykle korzysta się z trzech reguł: reguły podstawiania, reguły zastępowania definicyjnego i z reguły odrywania. Systemów rachunków zdań, jak powiedziano, jest wiele. W naszym wykładzie przedstawimy system zbudowany przez Jana Łukasiewicza, wybitnego polskiego logika. W swojej pierwotnej postaci system ten został opracowany jeszcze w końcu XIX wieku przez Gottloba Fregego, wybitnego matematyka i logika z Wrocławia. System ten uprościł i udoskonalił Jan Łukasiewicz po pierwszej wojnie światowej. Aksjomatyczny rachunek zdań Łukasiewicza - to system implikacyjno-negacyjny. Swoją nazwę ten system zawdzięcza temu, że za pierwotne i niedefiniowalne terminy przyjęte tu zostały funktory (spójniki) implikacji i negacji. Następnie ustalono trzy aksjomaty jako fundamentalne tezy wyjściowe systemu. Te aksjomaty zawierają jako stałe pierwotne symbole implikacji i negacji. Aksjomat 1: (~p → p) → p; Aksjomat 2: p → (~p → q). Pierwszy z tych aksjomatów jest to tzw. sylogizm hipotetyczny. Drugi stanowi zmodyfikowaną postać prawa redukcji do absurdu. Trzeci - to tzw. charakterystyka fałszu.
Przyjęte aksjomaty stanowią, jak powiedziano, wyjściowe twierdzenia sytemu. Z nich, mocą podanych reguł, zostaną wywiedzione następne twierdzenia, a z tych jeszcze dalsze.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)