To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Aksjomatyczna postać rachunku zdań
Systemy aksjomatyczne nowoczesnej nauki charakteryzuje nie tylko lista twierdzeń pierwotnych. Drugim składnikiem każdego z takich systemów jest zbiór zasad dowodzenia, nazywanych regułami inferencji. Pierwszym stadium konstrukcji pełnego systemu aksjomatycznego logiki formalnej jest aksjomatyzacja rachunku zdań.
Zgodnie z ogólnymi zasadami aksjomatyzacji, każdy system aksjomatyczny rachunku zdań scharakteryzowany jest przez:
zbiór aksjomatów danego rachunku zdań
zbiór zasad dowodzenia dalszych formuł rachunku zdań na podstawie tych aksjomatów - zbiór reguł inferencji tego systemu
W twierdzeniach pierwotnych aksjomatycznego rachunku zdań nie muszą występować wszystkie spójniki prawdziwościowe mające swe odpowiedniki w językach, które rachunek zdań pod tym względem opisuje. Dla formuły posiadającej spójniki prawdziwościowe można podać jej równoważnik, zawierający tylko niektóre z nich.. Jeżeli chce się ograniczyć liczbę spójników prawdziwościowych w tezach danego systemu, to należy uczynić je terminami pierwotnymi tegoż systemu lub wprowadzić je do systemu jako terminy pochodnie - za pośrednictwem definicji, które charakteryzują ich znaczenie za pomocą terminów występujących w aksjomatach. W drugim przypadku należy nadto przyjąć regułę inferencji.
Oto system aksjomatyczny rachunku zdań, w którym wszystkie spośród spójników: ∨, ∧, →, ↔, ≡, ∼ są terminami pierwotnymi. Aksjomatyka tego rachunku zdań jest więc stosunkowo obszerna.
Aksjomaty systemu S:
A1 - (p → q) → [(q → r) → (p → r)]
A2 - p → (q → p)
A3 - [p → (p → q)] → (p → q)
A4 - p → ∼∼p
A5 - ∼∼p → p
A6 - (p → q) → (∼q → ∼p)
A7 - (p ∧ q) → p
A8 - (p ∧ q) → q
A9 - (p → q) →{(p → r) → [p → (q ∧ r)]}
A10 - p → (p ∨ q)
A11 - q → (p ∨ q)
A12 - (p → r) → {(q → r) → [(p ∨ q) → r]}
A13 - (p ≡ q) → (p → q)
A14 - (p ≡ q) → (q → p)
A15 - (p → q) → [(q → p) → (p ≡ q)]
Reguły inferencji systemu S:
reguła podstawiania - podstawiając w dowolnej formule, która jest tezą systemu, za któryś z jej symboli zdaniowych (wszędzie tam, gdzie ten symbol występuje) inny symbol zdaniowy lub formułę, otrzymuje się tezę systemu;
symbolicznie: reguła odrywania - jeśli formuła implikacyjna i jej poprzednik są tezami systemu, to również następnik tej formuły jest tezą systemu;
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)