Związki logiczne między zdaniami Związki logiczne między zdaniami, którymi interesuje się rachunek zdań, uwarunkowane są wyłącznie strukturą tych zdań oraz znaczeniem występujących w nich stałych logicznych. Najkrócej rzec ujmując, chodzi tu o relacje między dwoma zdaniami połączonymi w parę, które wynikają wyłącznie z wartości logicznej tych zdań (tzn. z tego, że są one prawdziwe bądź fałszywe). Innymi słowy: badamy, jak mają się do siebie dwa zdania w sytuacji, gdy jedno z nich prawdziwe, a drugie fałszywe, i wtedy, gdy oba są prawdziwe, a także wówczas, gdy są one równocześnie fałszywe. W logice formalnej wyróżnia się następujące związki logiczne między zdaniami: wynikanie logiczne, sprzeczność logiczną, równoważność logiczną, logiczne wykluczanie się i logiczne dopełnianie się zdań. Przedstawimy je w skrócie, zaczynając od dwóch ostatnich z wymienionych, i spróbujemy pokazać, w jakich typach zdań one zachodzą. Związki wykluczania i dopełniania się zdań Przyjrzyjmy się dwom parom zdań i zbadajmy, czy mogą one być równocześnie prawdziwe albo fałszywe:
„Jan jest starszy od Adama”; „Jan jest młodszy od Adama” oraz:
„Jan jest starszy od Adama”; „Jan nie jest starszy od Adama”.
Jeśli weźmiemy pod uwagę prawdziwość i fałszywość zdań, to o zdaniach pierwszej pary od razu możemy powiedzieć, że nie mogą równocześnie prawdziwe. Jeśli jedno z nich jest prawdziwe, to drugie musi być, siłą rzeczy, fałszywe (zważywszy, że Jan i Adam mogą być rówieśnikami, wypadałoby jeszcze dopowiedzieć, że mogą być one w tym samym momencie fałszywe, ale to w tej chwili nie jest istotne). Logiczny związek zachodzący między tymi zdaniami nazywa się w logice formalnej wykluczaniem się. Związek (albo relację, a jeszcze inaczej stosunek) logicznego wykluczania się zdań zapiszemy następująco: Związek logicznego wykluczania zachodzi między zdaniami wtedy i tylko wtedy, gdy nie mogą być one równocześnie prawdziwe. Co najmniej jedno z tych zdań powinno być fałszywe i co najwyżej jedno może być prawdziwe. Gdy jedno nich jest prawdziwe, to drugie musi być fałszywe.
Z kolei o drugiej parze zdań bez żadnych wątpliwości orzekniemy, że nie mogą być one jednocześnie fałszywe. Jeśli jedno z nich jest fałszywe, to drugie musi być prawdziwe (nawet wówczas, gdy Jan i Adam są rówieśnikami - wtedy pierwsze zdanie z tej pary jest fałszywe, a drugie prawdziwe). Związek, jaki tu obserwujemy, nazywamy logicznym dopełnianiem się. Związek dopełniania się możemy opisać następująco: Dwa zdania dopełniają się logicznie wtedy i tylko wtedy, gdy nie mogą być równocześnie fałszywe. Co najwyżej jedno z nich może być fałszywe i co najmniej jedno musi być prawdziwe (ale mogą oba być prawdziwe). Jeżeli jedno z nich jest fałszywe, drugie musi być tym samym prawdziwe.
(…)
… dopełniania się. Nie trudno bowiem wyobrazić sobie sytuację, kiedy oba zdania są fałszywe - wtedy mianowicie, gdy Jan i Adam są równolatkami. Więc możemy powiedzieć o tych zdaniach, że się wykluczają, ale nie dopełniają się. Spróbujmy odpowiedzieć na pytanie: jaki rodzaj zdań logicznych reprezentują opisane tu relacje logicznego wykluczania się i dopełniania?; albo inaczej: jakimi spójnikami (funktorami) prawdziwościowymi należy połączyć dwa zdania (choćby te z naszych przykładów), by w uzyskanym z nich w ten sposób zdaniu złożonym zachodziły przedstawione związki logiczne?
Zacznijmy od logicznego wykluczania się. Pamiętamy, że z logicznym wykluczaniem się zdań mamy do czynienia w sytuacji, gdy dwa zdania nie mogą być równocześnie prawdziwe. Tylko jedno z nich może być prawdziwe. Zatem jeśli połączymy ze sobą dwa zadania wykluczające się, to otrzymane w ten sposób zdanie złożone będzie prawdziwe tylko wtedy, gdy co najwyżej jedno ze zdań składowych będzie mogło być prawdziwe. Gdy jedno z nich będzie prawdziwe, tu drugie będzie musiało być fałszywe. Ale - i to też jest ważne - będą mogły być równocześnie fałszywe. Krótko mówiąc: utworzone zdanie (złożone) będzie fałszywe tylko wtedy, gdy oba jego zdania składowe…
…, że jest ona prawdziwa wyłącznie wtedy, gdy jej człony (zdania składowe) wykluczają się logicznie.
Z równą łatwością można dowieść, że związek logicznego dopełniania się zachodzi między zdaniami połączonymi spójnikiem alternatywy typu (p q). Zdanie alternatywne jest fałszywe tylko w jednym przypadku, a mianowicie wtedy, gdy oba jego człony (zdania składowe) są fałszywe; w pozostałych przypadkach jest prawdziwe. Zatem…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)