> < < < >
(…)
… i .
Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (funkcją prawdopodobieństwa, rozkładem prawdopodobieństwa)
zmiennej losowej X nazywamy funkcję p określoną wzorem
p(xi)=P(X= xi)i.
Funkcję prawdopodobieństwa P określoną na wartości xi oznaczamy przez pi, czyli pi=p(xi).
Innym sposobem określania funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest metoda tabelkowa:
x i x1 x 2 x n
p i p1 p 2 p n
Dystrybuantą zmiennej losowej skokowej X jest funkcja F określona wzorem
F x P X x p i ,
xi x
gdzie sumowanie odbywa się po tych x i , które spełniają nierówności xi x .
UWAGA!!!
Mając dany rozkład prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć jej dystrybuantę i odwrotnie, mając daną
dystrybuantę zmiennej losowej X możemy podać rozkład prawdopodobieństwa.
Przykład
(1)
W pudełku jest 10 losów…
…. Wyznacz funkcję rozkładu prawdopodobieństwa.
Zad. 3 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe
sumie oczek na dwóch kostkach. Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej. Obliczyć P(5X<8), wartość
oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe tej zmiennej.
Zad. 4 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe…
… losową skokową oznaczającą wygraną. gdzie A={-2,1,10}. Zauważmy, że
X(1)=10, X(2)=X(3)=1, X(4)=X(5)=...=X(10)=-2.
Określmy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
1
P(X=10)=p1=
10
2
P(X=1)= p2+ p3=
10
7
P(X=-2)= p4+ p5+ p6+ p7+ p8+ p9+ p10=
10
Zapis tabelkowy
wartość zmiennej losowejł
-2
1
10
prawdopodobieństwo
0,7
0,2
0,1
Wyznaczmy dystrybuantę zmiennej losowej
Dla
x-2
F(x)=P(X<x)= pi =0
xi x
Dla
–2<x1
F(x)= pi =p1=0,7
xi x
1
Dla
F(x)= pi =p1+ p2=0,7+0,2=0,9
1<x10
xi x
Dla
x>10 F(x)= pi =p1+ p2+ p3=0,7+0,2+0,1=1
xi x
Tak więc
(2)
0 dla x 2
0,7 dla 2 x 1
F ( x)
0,9 dla 1 x 10
1 dla x 10
Niech zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa
xi 0 1 3 6
1 1 1 1
3 6 3 6
pi
Wówczas dystrybuantę wyliczamy w następujący sposób
dla x 0
F x P X…
… i .
Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (funkcją prawdopodobieństwa, rozkładem prawdopodobieństwa)
zmiennej losowej X nazywamy funkcję p określoną wzorem
p(xi)=P(X= xi)i.
Funkcję prawdopodobieństwa P określoną na wartości xi oznaczamy przez pi, czyli pi=p(xi).
Innym sposobem określania funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest metoda tabelkowa:
x i x1 x 2 x n
p i p1 p 2 p n
Dystrybuantą zmiennej…
… daną jedną zmienną losową, tworzyć na jej podstawie inne zmienne losowe.
XIII. Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej skokowej
Zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartości ze zbioru {x1, x2, x3,..., xn}, zaś jego funkcją rozkładu
prawdopodobieństwa jest p.
Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, wartością średnią, nadzieją matematyczną) zmiennej losowej
skokowej X nazywamy liczbę
n
EX…
… skokowych.
Zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartości ze zbioru {x1, x2, x3,..., xn}, zaś jego funkcją rozkładu
prawdopodobieństwa jest p
1. Rozkład równomierny
Zmienna losowa X ma rozkład skokowy równomierny, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci
x i x1 x 2 x n
4
pi
1
n
1
1
n
n
tzn. każda wartość zmiennej losowej jest przyjmowana z jednakowym prawdopodobieństwem.
Wówczas wartość…
… .
3. Rozkład zero-jedynkowy
Zmienna losowa X ma rozkład skokowy zero-jedynkowy, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci
xi 0 1
pi q p
gdzie q 1 p .
Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami
EX p , D 2 X pq .
4. Rozkład Bernoulliego (rozkład dwumianowy)
Schemat Bernoulliego (dwumianowy)
Schematem n prób Bernoulliego nazywamy n niezależnych doświadczeń losowych…
… (0,76) 3 10 0,0576 0,439 0,253 .
2
Zmienna losowa X ma rozkład skokowy Bernoulliego (rozkład dwumianowy) z parametrami n, p , gdzie
n N , 0 p 1, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci
gdzie q 1 p , 0 k n .
n
P X k Pk , n, p p k q n k
k
Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami EX np , D 2 X npq .
Przykład…
… 625 625
625
koszykarz średnio odda 3,2 (3 w zaokrągleniu do liczby całkowitej) rzuty celne do kosza. Obliczenie
wariancji, pozostawiamy czytelnikowi .
4.Rozkład Poissona.
Zmienna losowa X ma rozkład skokowy Poissona z parametrem 0 , jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa
jest postaci
6
Pk , e
k
k!
,
gdzie k N 0. Parametr ma interpretację wartości oczekiwanej i jest on równy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)