ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA
POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa:
zdarzenie losowe,
zdarzenie elementarne,
prawdopodobieństwo,
zbiór zdarzeń elementarnych.
Def. Niech E będzie zbiorem zdarzeń elementarnych danego doświadczenia. Funkcję X(e) przyporządkowującą każdemu zdarzeniu elementarnemu eE jedną i tylko jedną liczbę X(e)=x nazywamy zmienną losową.
Przykład
Rozpatrujemy doświadczenie polegające na rzucie symetryczną monetą. Wynikiem tego doświadczenia mogą być zdarzenia "pojawienie się orła" albo "pojawienie się reszki" tworzące zbiór zdarzeń elementarnych.
Na zbiorze zdarzeń elementarnych określamy zmienną losową X w sposób następujący:
X (orzeł) = 1; X (reszka) = 0
Zmienna losowa X przyjmuje wartość ze zbioru {0,1}. Ponieważ zdarzenia "pojawienie się orła" i "pojawienie się reszki" realizują się z prawdopodobieństwami równymi 1/2, można zapisać:
P(X=1) = P{orzeł} = 1/2,
P(X=0) = P{reszka} = 1/2.
TYPY ZMIENNYCH LOSOWYCH
Def. Zmienna losowa X jest typu skokowego, jeśli może przyjmować skończoną lub nieskończoną, ale przeliczalną liczbę wartości.
Wartości zmiennej losowej skokowej (określane często jako punkty skokowe) będziemy oznaczać przez x1, x2,..., natomiast prawdopodobieństwa, z jakimi są one realizowane (określane jako skoki), oznaczamy przez p1, p2,...
Def. Zmienna losowa X jest typu ciągłego, jeśli jej możliwe wartości tworzą przedział ze zbioru liczb rzeczywistych.
Dla zmiennej losowej typu ciągłego możliwe jest określenie prawdopodobieństwa, że przyjmuje ona wartość należącą do dowolnego zbioru jej wartości. Sposób rozdysponowania całej "masy" prawdopodobieństwa (równej 1) pomiędzy wartości, jakie przyjmuje dana zmienna losowa, określamy mianem jej rozkładu prawdopodobieństwa.
ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ SKOKOWEJ
Założenia:
zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartość x1, x2,... z prawdopodobieństwami, odpowiednio p1, p2,... ,
prawdopodobieństwa p1, p2,... spełniają równość:
gdy zmienna losowa X przyjmuje skończoną liczbę n wielkości,
prawdopodobieństwo p1, p2,... spełniają równość:
gdy zmienna losowa X przyjmuje nieskończoną liczbę wartości.
Def. Zbiór prawdopodobieństw postaci:
spełniających równość (1) lub (2) określamy mianem funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu skokowego.
Funkcję prawdopodobieństwa można przestawić tabelarycznie w poniższy sposób (przy założeniu, że zbiór wartości zmiennej losowej jest skończony):
(…)
… ciągłą.
Przykład
Dystrybuanta zmiennej losowej ma postać:
ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ CIĄGŁEJ
Def. Funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego nazywamy funkcję f(x), określoną na zbiorze liczb rzeczywistych o następujących własnościach:
dla dowolnych a<b.
Def. Funkcją gęstości zmiennej losowej X typu ciągłego nazywamy funkcję f(x) określoną następująco:
Przykładowy wykres funkcji gęstości prawdopodobieństwa i graficzna interpretacja f(x) a b x
Przykład
przeprowadzamy pomiar wagi pewnego typu odkuwek tłoczonych przez prasę hydrauliczną,
waga pojedynczych odkuwek odchyla się w sposób przypadkowy od wagi nominalnej, tym samym wyniki pomiarów wagi odkuwek można traktować jako realizacje zmiennej losowej ciągłej,
dokonujemy n pomiarów, grupując uzyskane wyniki w l rozłącznych…
…). Liczbę doświadczeń n oraz prawdopodobieństwo sukcesu p nazywamy parametrami tego rozkładu.
Dystrybuanta zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym: Wartość oczekiwana i wariancja
ROZKŁAD POISSONA
Def. Rozkład zmiennej losowej X przyjmującej wartość k=0,1,2,... nazywamy rozkładem Poissona o parametrze λ, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa opisana jest wzorem:
dla k=0,1,2,...
gdzie:
λ jest dodatnią stałą (λ>0)
Def. Dystrybuantą zmiennej losowej X mającej rozkład Poissona jest funkcja F(x) o postaci:
Paramerty:
E(X)=λ
D2(X)=λ
Wykorzystanie rozkładu Poissona do aproksymacji prawdopodobieństw w rozkładzie dwumianowym
Niech Xn oznacza zmienną losową o rozkładzie dwumianowym, z parametrami n oraz p, której rozkład opisany jest wzorem:
Jeżeli dla n→∞ spełniona jest równość np=λ, gdzie λ jest wielkością…
…-jedynkowej:
ROZKŁAD DWUMIANOWY
Schemat Bernoulliego
wykonujemy doświadczenie, którego rezultatem może być zdarzenie A (sukces) z prawdopodobieństwem p lub zdarzenie przeciwne (porażka) z prawdopodobieństwem q=1-p,
doświadczenie powtarzamy n-krotnie w sposób niezależny co oznacza, że prawdopodobieństwo sukcesu pozostaje w pojedynczych próbach stałe i równe p,
liczba sukcesów jaką zaobserwujemy w wyniku n…
… standardowym σ=1 nazywamy standardowym rozkładem normalnym i oznaczamy N(0,1)
WŁASNOŚCI KRZYWEJ GĘSTOŚCI
ROZKŁADU NORMALNEGO
a) jest symetryczna względem prostej ,
b) osiąga maksimum równe ,
c) jej ramiona mają punkty przegięcia dla .
LICZBA LOSOWA
Liczba losowa to pojęcie z dziedziny statystyki i teorii informacji.
Liczby takie otrzymywane są jako rezultat działania określonego mechanizmu losującego…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)