ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa: zdarzenie losowe,
zdarzenie elementarne,
prawdopodobieństwo,
zbiór zdarzeń elementarnych.
Def. Niech E będzie zbiorem zdarzeń elementarnych danego doświadczenia. Funkcję X(e) przyporządkowującą każdemu zdarzeniu elementarnemu e E jedną i tylko jedną liczbę X(e)=x nazywamy zmienną losową .
Przykład Rozpatrujemy doświadczenie polegające na rzucie symetryczną monetą. Wynikiem tego doświadczenia mogą być zdarzenia "pojawienie się orła" albo "pojawienie się reszki" tworzące zbiór zdarzeń elementarnych.
Na zbiorze zdarzeń elementarnych określamy zmienną losową X w sposób następujący:
X (orzeł) = 1; X (reszka) = 0
Zmienna losowa X przyjmuje wartość ze zbioru {0,1}. Ponieważ zdarzenia "pojawienie się orła" i "pojawienie się reszki" realizują się z prawdopodobieństwami równymi 1/2, można zapisać:
P( X =1) = P{orzeł} = 1/2,
P( X =0) = P{reszka} = 1/2.
TYPY ZMIENNYCH LOSOWYCH Def. Zmienna losowa X jest typu skokowego , jeśli może przyjmować skończoną lub nieskończoną, ale przeliczalną liczbę wartości.
Wartości zmiennej losowej skokowej (określane często jako punkty skokowe ) będziemy oznaczać przez x 1 , x 2 ,..., natomiast prawdopodobieństwa, z jakimi są one realizowane (określane jako skoki ), oznaczamy przez p 1 , p 2 ,... Def. Zmienna losowa X jest typu ciągłego , jeśli jej możliwe wartości tworzą przedział ze zbioru liczb rzeczywistych.
Dla zmiennej losowej typu ciągłego możliwe jest określenie prawdopodobieństwa, że przyjmuje ona wartość należącą do dowolnego zbioru jej wartości. Sposób rozdysponowania całej "masy" prawdopodobieństwa (równej 1) pomiędzy wartości, jakie przyjmuje dana zmienna losowa, określamy mianem jej rozkładu prawdopodobieństwa .
ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ SKOKOWEJ Założenia: zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartość x 1 , x 2 ,... z prawdopodobieństwami, odpowiednio p 1 , p 2 ,... ,
prawdopodobieństwa p 1 , p 2 ,... spełniają równość:
gdy zmienna losowa X przyjmuje skończoną liczbę
(…)
… ciągłą.
Przykład
Dystrybuanta zmiennej losowej ma postać:
ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ CIĄGŁEJ
Def. Funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego nazywamy funkcję f(x), określoną na zbiorze liczb rzeczywistych o następujących własnościach:
dla dowolnych a<b.
Def. Funkcją gęstości zmiennej losowej X typu ciągłego nazywamy funkcję f(x) określoną następująco:
Przykładowy wykres funkcji gęstości prawdopodobieństwa i graficzna interpretacja f(x) a b x
Przykład
przeprowadzamy pomiar wagi pewnego typu odkuwek tłoczonych przez prasę hydrauliczną,
waga pojedynczych odkuwek odchyla się w sposób przypadkowy od wagi nominalnej, tym samym wyniki pomiarów wagi odkuwek można traktować jako realizacje zmiennej losowej ciągłej,
dokonujemy n pomiarów, grupując uzyskane wyniki w l rozłącznych…
…). Liczbę doświadczeń n oraz prawdopodobieństwo sukcesu p nazywamy parametrami tego rozkładu.
Dystrybuanta zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym: Wartość oczekiwana i wariancja
ROZKŁAD POISSONA
Def. Rozkład zmiennej losowej X przyjmującej wartość k=0,1,2,... nazywamy rozkładem Poissona o parametrze λ, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa opisana jest wzorem:
dla k=0,1,2,...
gdzie:
λ jest dodatnią stałą (λ>0)
Def. Dystrybuantą zmiennej losowej X mającej rozkład Poissona jest funkcja F(x) o postaci:
Paramerty:
E(X)=λ
D2(X)=λ
Wykorzystanie rozkładu Poissona do aproksymacji prawdopodobieństw w rozkładzie dwumianowym
Niech Xn oznacza zmienną losową o rozkładzie dwumianowym, z parametrami n oraz p, której rozkład opisany jest wzorem:
Jeżeli dla n→∞ spełniona jest równość np=λ, gdzie λ jest wielkością…
… standardowym σ=1 nazywamy standardowym rozkładem normalnym i oznaczamy N(0,1)
WŁASNOŚCI KRZYWEJ GĘSTOŚCI ROZKŁADU NORMALNEGO
a) jest symetryczna względem prostej ,
b) osiąga maksimum równe ,
c) jej ramiona mają punkty przegięcia dla .
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)