Zestaw zadań - Przestrzeń liniowa

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 483
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Zestaw zadań  - Przestrzeń liniowa - strona 1 Zestaw zadań  - Przestrzeń liniowa - strona 2 Zestaw zadań  - Przestrzeń liniowa - strona 3

Fragment notatki:

Zestaw 7.
Iloczyn skalarny, ortogonalno´ c

Zadanie 1. W przestrzeni R3 rozwazmy podprzestrze´ Y = f(x; y; z) : 2x + y z = 0g.
n
·
Wyznaczy´ ortogonalna –w sensie naturalnego iloczynu skalarnego –baze przesc
¾
¾
trzeni Y .
Zadanie 2. Sprawdzi´ , ze w przestrzeni R4 wektory
c ·
1
2;
e1 =
1 1
2; 2;
1
2
, e2 =
1 1 1
2; 2; 2;
1
2
sa ortonormalne, a nastepnie znale´ ´ wektory e3 i e4 takie, aby uk÷ e1 ; e2 ; e3 ; e4
¾
¾
zc
ad
by÷jej baza ortonormalna. W R4 przyja´ naturalny iloczyn skalarny.
¾
¾
¾
c
Zadanie 3. Niech uk÷ wektorów e1 ; : : : ; en bedzie uk÷
ad
¾
adem ortogonalnym w przestrzeni wektorowej wyposazonej w iloczyn sklalarny. Pokaza´ , ze wektory e1 ; : : : ; en
c ·
·
sa liniowo niezalezne.
¾
·
Zadanie 4. Niech s1 i s2 beda iloczynami skalarnymi na rzeczywistej przestrzeni wek¾
torowej X. Pokaza´ , ze odwzorowanie 1 s1 + 2 s2 , gdzie 1 ; 2 2 R+ , równiez
c ·
·
jest iloczynem skalarnym na X.
Zadanie 5. Pokaza´ , ze jezeli s jest iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej
c · ·
X, a Y jest jej podprzestrzenia liniowa, to sjY Y jest iloczynem skalarnym na
¾
¾
Y.
Zadanie 6.* Niech wektory e1 ; : : : ; en stanowia baze przestrzeni wektorowej X. Do¾
¾
wie´ c, ze istnieje dok÷
s´ ·
adnie jeden iloczyn skalarny s na X taki, ze s (ei ; ej ) = ij 1
·
dla i; j = 1; : : : ; n.
Zadanie 7. Niech oznacza naturalny iloczyn skalarny w przestrzeni Rn oraz niech
df p
c ·
kxk = x x. Niech v; w 2 Rn . Pokaza´ , ze
2
2
2
a) v ? w , kv + wk = kvk + kwk ;
b) jjvjj = jjwjj , v + w ? v
c) kv
2
2
wk = kvk + kwk
2
d) kv + wk + kv
2
2
w;
2 jjvjj jjwjj cos ] (v; w);
2
2
wk = 2 kvk + kwk
;
Zadanie 8. Dla wektorów v = (v1 ; v2 ) ; w = (w1 ; w2 ) 2 R2 de…niujemy funkcje
a) s1 (v; w) = v1 w1 + v2 w2
b) s2 (v; w) = 2v1 w1 + 5v2 w2
c) s3 (v; w) = v1 w1 + v1 w2 + v2 w1 + v2 w2 .
Sprawdzi´ , czy funkcje s1 ; s2 ; s3 sa iloczynami skalarnymi w R2 oraz (jezeli to
c
¾
·
mozliwe) wyznaczy´ zbiór S = v 2 R2 : kvk = 1 .
c
·
Zadanie 9. W R3 okre´
slamy iloczyn skalarny
w nastepujacy sposób:
¾
¾
df
(x1 ; x2 ; x3 ) (y1 ; y2 ; y3 ) = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 :
Wyznaczy´ ortonormalna w sensie iloczynu
c
¾
1
ij
=
1
0
dla i = j
dla i 6= j
1
baze przestrzeni R3 nad cia÷ R.
¾
em
Zadanie 10. Niech
bedzie przestrzenia wielomianów o wspó÷
¾
¾
czynnikach rzeczywistych. Na okre´
slamy odwzorowanie s :
! R wzorem
s (p; q) = a0 b0 + a1 b1 + : : : + aminfn;mg bminfn;mg ,
(1)
gdzie p (x) = a0 + a1 x + : : : + an xn i q (x) = b0 + b1 x + : : : + bm xm . Dowie´ c, ze
s´ ·
jest to iloczyn skalarny w przestrzeni .
Zadanie 11.* Niech X bedzie przestrzenia¾ wektorowa¾ nad cia÷ liczb zespolonych
¾
em
C. Odwzorowanie s okre
´slone na X o warto
´sciach w C nazywamy iloczynem
skalarnym, je·eli spe÷ warunki:
z
nia
8x; y 2 X : s (x; y) =s (y; x);
8x; y; z 2 X : 8 ; 2 C : s ( x + y; z) = s (x; z) + s (y; z) ;
8x 2 X : s (x; x) 0 oraz s (x; x) = 0 , x = 0:
Niech x0 ; : : : ; xn beda róznymi liczbami rzeczywistymi oraz niech
¾ ¾ ·
X = ff : fx0 ; : : : ; xn g ! C : f
funkcjag .

(…)

… uk÷ ortogonalny w sensie iloczynu skalarnego okre´
¾
ad
slonego wzorem
(2).
Zadanie 13.* Niech C ([a; b]) oznacza przestrze´ rzeczywistych funkcji ciag÷ na
n
¾ ych
przedziale [a; b]. Pokaza´ , ze odwzorowanie h ; i : C ([a; b]) C ([a; b]) ! R
c ·
okre´
slone wzorem
Z
b
df
hf; gi =
f (x)g(x)dx
(3)
a
jest iloczynem skalarnym na C ([a; b]).
Zadanie 14.* Pokaza´ , ze kazdemu wektorowi x przestrzeni
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz