To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Zestaw 8.
Macierze (cz. I)
Zadanie 1. Niech Mn m oznacza zbiór macierzy o n wierszach, m kolumnach oraz
o elementach nalezacych do zbioru M. Sprawdzi´ , czy:
c
·¾
a) (Rn
b) (R
m
n n
; +) jest grupa abelowa, gdzie + –dodawanie macierzy;
¾
¾
; ) jest grupa abelowa, gdzie
¾
¾
–mnozenie macierzy;
·
a b
b a
c) (A; +; ) jest cia÷
em, gdzie A =
macierzy,
: a; b 2 R , + – dodawanie
–mnozenie macierzy,
·
n m
d) (R
; +; R; ) jest przestrzenia wektorowa nad cia÷ R, gdzie + – do¾
¾
em
dawanie macierzy, –mnozenie macierzy przez liczbe. W przypadku pozy¾
·
tywnej odpowiedzi, poda´ baze tej przestrzeni.
c
¾
Zadanie 2. Dla macierzy
A=
1
0
2
3
0
1
1
1
oraz B =
2
1
1
0
znale´ ´ macierz X, spe÷ aca równanie
zc
niaj ¾ ¾
a) 4 (A
X) + 5 (3X + B) = A
B + 8X;
T
b) B T X = [1 1 0] .
Zadanie 3. Znale´ ´ macierz X, spe÷ aca równanie:
zc
niaj ¾ ¾
a) XX =
1
0
5
1
,
1
1
b) X
Zadanie 4. Sprawdzi´ , czy dla A; B 2 Rn
c
n
0
1
1
0
=
1
1
XT :
prawdziwe sa ponizsze zalezno´
¾
·
· sci:
a) AB = BA;
b) AB = 0 ) (A = 0 _ B = 0) ; 0 2 Rn
2
2
n
;
2
c) (A + B) = A + 2AB + B ;
3
d) AB = BA ) (A + B) = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3 .
Zadanie 5. Dla f (x) = x2
2
3
5x + 3 oraz A =
1
3
wyznaczy´ f (A).
c
Zadanie 6. Uzasadni´ , ze dla dowolnej macierzy A 2 Rn
c ·
wielomian f : R ! R taki, ze f (A) = 0.
·
Zadanie 7. Rozwiaza´ macierzowy uk÷ równa´
¾ c
ad
n
8
X +Y = 0
2X + 3Y =
:
1
1
0
1
1
0
1
.
n
(ew. Cn
n
) istnieje
Zadanie 8. Dla macierzy
a) A =
i
0
0
i
p
, dla i =
1,
cos
sin
b) A =
sin
cos
, dla
2R
df
wyznaczy´ An = A :{z: A.
c
| : }
n
Zadanie 9.* Dla macierzy A 2 Rn n okre´
slamy odwzorowanie : Rn 3 x ! Ax 2
n
R . Poda´ interpretacje geometryczna odwzorowania w przypadku, gdy
c
¾
¾
2
3
1 0 0
cos
sin
a) A =
, dla 2 R, b) A = 4 0 0 1 5 .
sin
cos
0 1 0
W oparciu o interpretacje geometryczna odwzorowania
¾
¾
1
tywno´ c oraz wyznaczy´ odwzorowanie odwrotne
s´
c
.
, uzasadni´ jego bijekc
Zadanie 10. Udowodni´ , ze iloczyn macierzy trójkatnych górnych (dolnych) jest mac ·
¾
cierza trójkatna górna (dolna).
¾
¾ ¾
¾
¾
Zadanie 11. Wykaza´ zalezno´ c:
c
· s´
n
1
Je·eli A = [aij ]i;j=1 jest macierza¾ ortogonalna¾ , to
z
a)
b)
c)
Pn
k=1
Pn
k=1
Pn
k=1
a2 = 1, 8j = 1; : : : ; n;
kj
a2 = 1, 8i = 1; : : : ; n;
ik
aki akj = 0, dla i 6= j.
Zadanie 12. Zadana jest macierz ortogonalna A 2 Rn
AX AT
2
n
. Rozwiaza´ równanie
¾ c
I 3,
=
z niewiadoma macierza X, I macierz jednostkowa.
¾
¾
Zadanie 13.* Dowie´ c, ze jezeli A jest macierza silnie trójkatna (tzn. jej wyrazy
s´ ·
¾
¾ ¾
·
spe÷ a warunek: aij = 0 dla i j), to An = 0, n 2 N; 0 2 Rn n .
niaj ¾
n n
Zadanie 14. Niech A = diag (d1 ; : : : ; dn ) 2 (R+ )
s : Rn
. Sprawdzi´ , czy odwzorowanie
c
Rn 3 (x; y) ! xT Ay 2 R
jest iloczynem skalarnym w przestrzeni Rn . W przypadku pozytywnej odpowiedzi,
df
2 0
wyznaczy´ zbiór S1 = x 2 R2 : jjxjj 1 , przyjmujac uprzednio A =
c
¾
.
0 1
Zadanie 15. Niech A = [aij ]; B = [bij ] 2 Rn
s (A; B) =
n
. Czy odwzorowanie s okre´
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)