Zestaw zadań - Liczby algebraiczne

Nasza ocena:

3
Pobrań: 21
Wyświetleń: 490
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Zestaw zadań  - Liczby algebraiczne - strona 1 Zestaw zadań  - Liczby algebraiczne - strona 2 Zestaw zadań  - Liczby algebraiczne - strona 3

Fragment notatki:

Zestaw 5.
Struktury algebraiczne (cz. I)
Zadanie 1. W zbiorze K wprowadzamy dzia÷
anie.
struktura jest grupa (abelowa):
¾
¾
a) K = Z z dzia÷
aniem + : Z
b) K = ff : A!A : f
Z 3 (a; b) ! a + b + 2 2 Z;
bijekcjag z dzia÷
aniem sk÷
adania odwzorowa´
n
:K
c) K = f4; ;
K 3 (f; g) ! f
4
4
4
4
df
g 2 K;
g z dzia÷
aniem
4
d) K = Sn =
oraz
Sprawdzi´ , czy tak okre´
c
slona
n
1 ::: n
a1 ::: an
: ai 2 f1; : : : ; ng oraz ai 6= aj
: Sn
e) K = Zm = f0; : : : ; m
o
– zbiór permutacji1
Sn 3 ('2 ; '1 ) ! '2 '1 2 Sn ;
1g z dzia÷
aniem
+mod m : Zm
Zm 3 (a; b) ! (a + b)mod m 2 Zm ;
gdzie cmod m to reszta z dzielenia c przez m, np.: 17mod 4 = 1,
f ) K = fRnf0gg
R z dzia÷
aniem
:K
g) K =
p
n
K 3 ((a1 ; a2 ) ; (b1 ; b2 )) ! (a1 b1 ; a1 b2 + a2 b1 ) 2 K,
1 = fe0 ; : : : ; en
df
1g
df
z dzia÷
aniem mnozenia liczb zespolonych.
·
Zadanie 2. Niech f1 (x) = x; f2 (x) = 1
df
df
1
x; f3 (x) = x ; f4 (x) = 1
1
x;
df
f5 (x) =
df
f6 (x) = x x 1 . Pokaza´ , ze struktura algebraiczna (ff1 ; : : : ; f6 g ; ), gdzie
c ·
sk÷
adanie odwzorowa´ ; jest grupa. Czy jest to grupa abelowa?
n
¾
1
1 x;

Zadanie 3. Wykaza´ , ze zbiór utworzony z symetrii kwadratu wzgledem jego osi
c ·
¾
symetrii, z przekszta÷
cenia tozsamo´
sciowego2 oraz z obrotów kwadratu dooko÷
a
·
srodka kwadratu o kat 2 z dzia÷
¾
aniem sk÷
adania odwzorowa´ tworza o´
n
¾ smioele´
mentowa grupe nieprzemienna.
¾
¾
¾
Zadanie 4. Niech (G; ) bedzie grupa z elementem neutralnym e taka, ze: 8a 2 G :
¾
¾
¾ ·
a a = e. Czy (G; ) jest grupa abelowa?
¾
¾
Zadanie 5. Niech (G; ) bedzie grupa. Pokaza´ , ze a a = a wtedy i tylko wtedy, gdy
¾
¾
c ·
a jest elementem neutralnym dla w G.
1 Permutacja
1 ::: n
a1 ::: an
2 f–
przekszta÷
cenie
to bijekcja, która ka zdemu i 2 f1; : : : ; ng przypisuje ai 2 f1; : : : ; ng.
·
df
to zsamo´
sciowe , 8x 2 K : f (x) = x:
·
1
Zadanie 6.* Niech (Gi ; hi ), i = 1; : : : ; n beda grupami (abelowymi) z elementami
¾ ¾
neutralnymi e1 ; : : : ; en . Czy zbiór G = G1 : : : Gn z dzia÷
aniem
h:G
G3 ((a1 ; : : : ; an ) ; (b1 ; : : : ; bn )) ! (h1 (a1 ; b1 ) ; : : : ; hn (an ; bn )) 2 G
jest grupa (abelowa) ?
¾
¾
Zadanie 7. W zbiorze K = fa; bg wprowadzamy dzia÷
ania
a
b
a
a
b
b
b ,
a
a
b
a
a
a
b
a
b
i :
:
Sprawdzi´ , czy struktura (K; ; ) jest cia÷ a nastepnie rozwiaza´ równanie
c
em,
¾
¾ c
a (x (b a)) = (a b) a:
Zadanie 8. Sprawdzi´ , czy okre´
c
slona ponizej struktura algebraiczna jest cia÷
em:
·
a) (
·
n ; +; ), gdzie
n –zbiór wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyzej
n; + i –naturalne dzia÷
ania dodawania i mnozenia wielomianów,
·
b) ( ; +; ), gdzie
– zbiór wielomianów rzeczywistych; + i
dzia÷
ania dodawania i mnozenia wielomianów,
·
– naturalne
c) (P (X) ; ; \), gdzie P (X) – zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X;
i \ –dzia÷
ania okre´
slone nastepujaco:
¾
¾
: P (X)
\ : P (X)
P (X) 3 (A; B) ! (AnB) [ (BnA) 2 P (X)
P (X) 3 (A; B) ! A \ B 2 P (X) ,
df
d) (S1 ; +; ), gdzie S1 = fx 2 C : jxj 1g; + i
nia i mnozenia liczb zespolonych,
· ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz