To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Zestaw 4.
Dzia÷
ania, odwzorowania, funkcje.
Zadanie 1. Ile róznych dzia÷n wewnetrznych mozna okre´ c w dowolnym zbiorze
a´
¾
sli´
·
·
zawierajacym
¾
a) jeden element ?
b) n elementów ?
Ile jest takich dzia÷n, które dodatkowo sa przemienne ?
a´
¾
Zadanie 2. W zbiorze K = f•; Fg wprowadzamy dzia÷
ania
•
•
F
•
F
F
F
•
•
F
•
•
•
i :
F
• .
F
Sprawdzi´ , czy
c
a) dzia÷
ania sa
¾
i. przemienne,
ii. ÷
aczne,
¾
iii. rozdzielne jedno wzgledem drugiego,
¾
b) istnieja elementy neutralne w K dla
¾
i ,
c) istnieja elementy odwrotne w K dla • i F wzgledem
¾
¾
Zadanie 3. W zbiorze K okre´
slamy dzia÷
ania + i
+
: K
: K
i .
w nastepujacy sposób:
¾
¾
K 3 ((a1 ; b1 ) ; (a2 ; b2 )) ! (a1 + a2 ; b1 + b2 ) 2 K
K 3 ((a1 ; b1 ) ; (a2 ; b2 )) ! (a1 a2 + pb1 b2 ; a1 b2 + b1 a2 ) 2 K;
gdzie p 2 R. Znale´ ´ wszystkie warto´ p, dla których
zc
sci
a) powyzsze dzia÷
ania sa:
¾
·
i. wewnetrzne,
¾
ii. przemienne,
iii. ÷
aczne,
¾
b) zachodzi rozdzielno´ c
s´
wzgledem +,
¾
c) kazdy element zbioru K posiada element odwrotny (wzg. +) oraz element
·
przeciwny (wzg. ).
Przyja´ K = Q
¾
c
Q.
Zadanie 4. Sprawdzi´ , które z ponizszych przekszta÷ n jest: injekcja, surjekcja,
c
ce´
¾
¾
·
bijekcja:
¾
a)
b)
c)
: R2 3 (x; y) ! xy 2 R;
: C 3 z ! jzj ; z 2 2 R+
: C 3 z ! (jzj ; Re z) 2 R+
C;
R;
1
d)
: N2 3 (n; k) !
e)
:
n
0
n
k
gdy n k
3 (x ! a0 + a1 x + : : : + an xn ) ! (a0 ; : : : ; an ) 2 Rn+1 ,1
f ) " : Rn 3 (x1 ; : : : ; xn ) ! [x ! (x
h)
i)
:
x1 ) : : : (x
3
3 x ! arctg etg x 1 1 2
p
: ( 1; 8] 3 x ! 2 8 x x 2 [ 8; 1) ;
:
g)
2 N;
2; 2
n
3 f ! f0 2
n 1,
4; 2
xn )] 2
n;
;
gdzie
0 df
(a0 + a1 x + : : : + an xn ) = a1 + 2a2 x + : : : + nan xn
n
Zadanie 5. Niech S = (x; y) 2 R2 : x2 + (y
a) funkcja
b) funkcja
1
.
o
2
1) = 1 . Czy istnieje
: S ! [ 1; 1] bedaca surjekcja ?
¾ ¾
¾
: S ! [0; 1) bedaca bijekcja ?
¾ ¾
¾
Odpowied´ uzasadni´ .
z
c
Zadanie 6. Poda´ przyk÷ bijekcji2 : S2 n f(0; 0; 1)g ! R2 , gdzie
c
ad
n
o
2
S2 = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 + (z 1=2) = 1=4 .
1
Wyznaczy´ odwzorowanie odwrotne
c
.
Zadanie 7.* Niech fi : R ! R, i = 1; : : : ; n. Niech
= (f1 ; : : : ; fn ) : Rn 3 (x1 ; : : : ; xn ) ! (f1 (x1 ) ; : : : ; fn (xn )) 2 Rn :
Sprawdzi´ , czy:
c
a) 8i 2 f1; : : : ; ng fi surjekcja )
surjekcja,
b) 8i 2 f1; : : : ; ng fi injekcja )
injekcja,
c) 9i 2 f1; : : : ; ng : fi surjekcja )
surjekcja,
d) 9i 2 f1; : : : ; ng : fi injekcja )
e)
f)
df
1
n = fx
2 Funkcje
¾
injekcja,
surjekcja ) 9i 2 f1; : : : ; ng : fi surjekcja,
injekcja ) 9i 2 f1; : : : ; ng : fi injekcja.
! a0 + a1 x + : : : + an xn : ai 2 R; i = 0; : : : ; ng.
spe÷ aca warunki zadania nazywamy rzutem stereogra…cznym.
niaj ¾ ¾
2
Odpowiedzi
2
Zadanie 1: a) 1; b) nn , z czego n
n2 +n
2
dzia÷n to dzia÷
a´
ania przemienne;
Zadanie 2: a) i: sa, ii: sa, iii: dzia÷
¾
¾
anie jest rozdzielne wzgledem , dzia÷
¾
anie
nie jest rozdzielne wzgledem
¾
(np. F (F •) 6= (F F) (F •));
b) e = •; e = F; c) nie istnieje element odwrotny dla • wzgledem dzia÷
¾
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)