Zestaw zada ń z analizy matematycznej dla IM 12. Całkowanie (Zastosowania całek oznaczonych) 1. Obliczy ć pole obszaru D ograniczonego a) wykresami funkcji 3 2 , 2 + = = x y x y ; b) wykresami funkcji x y x y 2 cos , sin = = oraz osią Oy ( 0 ≥ x ); c) parabolami 2 2 2 , x y x y = = oraz prostą ( ) 0 8 ≥ = x y ; d) krzywymi e y e y e y x x = = = − , , 3 ; e) wykresami funkcji x y x y arcctg , arctg = = oraz osią Oy ; f) elipsą 1 2 2 2 2 = + b y a x , gdzie 0 , b a . 2. Obliczy ć długo ś ci łuków podanych krzywych a) ∈ − = 2 1 , 0 , 1 2 x x y ; b) [ ] 3 , 1 , 8 1 4 2 4 ∈ + = x x x y ; c) ∈ − = 4 , 0 , cos ln 1 π x x y ; d) ( ) [ ] 1 , 0 , arcsin ∈ = − x e y x ; e) [ ] 2 2 , 3 , ln ∈ = x x y ; f) [ ] 3 , 2 , 1 1 ln ∈ − + = x e e y x x ; g) [ ] 11 , 0 , 2 3 ∈ = x x y ; h) ∈ = 3 ln 2 1 , 2 ln 2 1 , x e y x . 3. Rozwi ą za ć podane zadania a) Jaką pracę należy wykonać, aby ciało o masie m podnieść z powierzchni Ziemi na wysokość h ? b) Zbiornik na ropę ma kształt walca o osi pionowej. Średnica walca wynosi D = 2 m, a wysokość H = 3 m. Zbiornik jest napełniony ropą do poziomu h = 1 m. Obliczyć pracę jaką trzeba wykonać, aby górą wypompować ropę ze zbiornika. Masa właściwa ropy wynosi 3 m / kg 700 = γ . c) Ciało wykonuje drgania wzdłuż osi Ox z szybkością ( ) t v t v 0 0 cosω = , gdzie v 0 i ω0 są stałymi. Znaleźć położenie ciała w chwili t 2, jeżeli w chwili t 1 znajdowało się ono w punkcie x 1. d) Samolot zwiadowczy S i rakieta R , która ma go zestrzelić, poruszają się po prostej. W chwili t = 0 odległość między nimi wynosiła d = 9 km. Szybkość samolotu w chwili t , gdzie 0 ≥ t , wyraża się wzorem ( ) t t v S 16 1 + = [km/min], a szybkość rakiety ( ) 3 4 1 t t v R + = [km/min]. Po jakim czasie rakieta trafi w samolot? e) Przy rozciąganiu sprężyny siła rozciągania jest proporcjonalna do wydłużenia sprężyny (współczynnik proporcjonalności
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)