Zastosowanie szeregów potęgowych do rozwiązywania równań różniczkowych Ogólny kształt równania liniowego drugiego rzędu jednorodnego o współczynnikach zmiennych ma postać:
(1)
Tego typu klasa równań obejmuje wiele zjawisk fizyki i techniki. Wśród nich znajduje się równanie postaci:
(2) określane jako stacjonarne równanie Schrödingera (używane w mechanice kwantowej). Tutaj u(x) ma sens energii potencjalnej (potencjał jednej cząstki punktowej). Np. jeżeli , wówczas otrzymujemy reprezentację przypadku oscylatora harmonicznego (kx 2 /2).
Analizę tego równania przeprowadzimy poprzez poszukiwanie takiej funkcji , gdzie λ oznacza parametr, od którego zależy rozwiązanie. Stosujemy zaawansowane metody, które pozwalają uzyskać nowe wyrażenia.
Jeżeli funkcja jest analityczna, to rozwijamy ją w szereg potęgowy postaci:
(3)
Poszukiwanie rozwiązania w takiej postaci jest podejściem ogólnym. Dlatego potrzebne są warunki początkowe i brzegowe, by takie równanie rozwiązać. Należy dokładnie przy tym podać, jakie są granice, odcinek rozwiązywania. Niech . Zakładamy, że i pod takim właśnie warunkiem szukamy rozwiązania. Taki warunek ma swoje fizyczne uzasadnienie. ma sens prawdopodobieństwa odnalezienia cząstki w punkcie x. Stąd nakłada się pewne ograniczenie funkcji dane poprzez unormowanie danej funkcji:
(4)
Podstawmy wobec tego (3) do (1):
(5)
Uwzględniamy (2), co daje:
(6) a różniczkowanie powyższego daje:
(7)
Z powyższych otrzymujemy:
(8) Podstawą zastosowanej metody rozwiązywania jest stwierdzenie, że funkcje są liniowo niezależne ( ). Otrzymujemy zatem:
(9)
W wyrażeniu (6) każdy nawias zeruje się. W przypadku funkcji liniowo niezależnych można napisać, że:
(…)
… przy ∞ jest spełniony tylko dla szczególnych wartości λ. Są to wartości własne tego równania lub operatora H.
(12)
Takie podejście jest istotne, gdzie do analizy funkcji specjalnych stosuje się metodę rozwinięcia w szereg. Wprowadzane są tu funkcje Hermite'a .
Ogólnie Metoda szeregów potęgowych (tzw. metoda Frobeniusa (1873, patrz Ince, 365, 396))
Mając ogólne równanie różniczkowe zwyczajne jednorodne rzędu n:
(13…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)