Trójkąt sferyczny, biegunowy

Sferka 1.Trójkątem sferycznym  nazywamy każdą z dwóch części sfery , wyznaczonych przez trzy  ortodromy łączące trzy różne punkty tej sfery, nie leżące na jednym okręgu wielkim i  takie, że żadne dwa z nich nie leżą na tej samej średnicy. Punkty te nazywamy wierzchołkami trójkąta sferycznego, ortodromy łączące wierzchołki  nazywamy bokami tego trójkąta , a kąty sferyczne, utworzone przez każde dwa boki –  jego kątami. 2.Trójkątem biegunowym  względem trójkąta ABC nazywamy trójkąt A’B’C’, którego  wierzchołkami są bieguny boków trójkąta ABC obranymi tak, że punkt A’ leży po tej  samej stronie płaszczyzny OBC ,co punkt A; punkt B’ po tej samej stronie płaszczyzny  OAC, co  punkt B i punkt C’ po tej samej stronie płaszczyzny OAB co punkt C.   3. Rozważmy dwa punkty A, B na sferze, które nie są końcami tej samej średnicy. Punkty te  wyznaczają dokładnie jeden okrąg wielki. Mniejszy z dwóch łuków okręgu wielkiego, na  jakie dzielą go punkty A i B nazywamy ortodromą. 4. Twierdzenie sinusow-w trójkącie sferycznym stosunek sinusa boku do cosinusa kąta  przeciwległego jest wielkością stałą tzn.:  sina/sin A= sin b/sin B = sin c/sin C  5. Twierdzenie cosinusow-trójkącie sferycznym cosinus dowolnego boku równy jest  iloczynowi cosinusów boków pozostałych + iloczyn sinusów tych boków i cosinusa kąta  między nimi zawartego: cos a= cos b* cos c + sin b* sin c* cos A cos b= cos a* cos c + sin a* sin c* cos B cos c= cos a*cos b +sin a*sin b* cosc 6. W trojkacie serycznym cosinus dowolnego kata równy jest iloczynowi cosinosow katow  pozostalych (z minusem)plus iloczyn sinusow tych katow i cosinusa boku miedzy tymi  katami; cosA=-cosB*cosC+sinB*sinC*cos a cosB=-cosA*cosC+sinA*sinC*cos b cosC=-cosA*cosB+sinA*sinB*cos c 7.Twierszenie cotangensow-w trojkacie sferycznym ioliczyn cosinusow elementow  srodkowych rowny jest iloczynowi sinusa boku środkowego  i cotangensa bokow skrajnego  minus iloczyn sinusa kąta środkowego i cotangensa kąta skrajnego.     cosa*cosC=sina*ctgb-sinC*ctgB    cosa*cosB=sina*ctgc-sinB*ctgC    cosb*cosA=sinb*ctgc-sinC*ctgC    cosb*cosC=sinb*ctga-sinC*ctgA    cosc*cosA=sinc*ctgb-sinA*ctgB    cosc*cosB=sinc*ctga-sinB*ctgA 8.Analogia nepera-obliczamy jednoczesnie dwa katy   tg A+B/2=[cos a-b/2]/[cos a+b/2]ctgC/2   tg A-B/2=[sin a-b/2]/[sin a+b/2]ctgC/2 9. Regula Neperac pięciokącie Nepera cosinus dowolnego elementu równy jest iloczynowi  sinusów elementów przeciwległych lub iloczynowi cotangensów elementów przyległych.  Dane dwa elementy nazywamy przyległymi, jeżeli są końcami tego samego boku pięciokąta.  W przeciwnym przypadku elementy nazywamy przeciwległymi.

(…)

… bezwładności
obszar4u D względm osi ox i oy B=ƒƒy2g(x,y)dxdy B=ƒƒx2g(x,y)
B=ƒƒ(x2+y2)g(x,y)dxdy,mpoment statyczny obszaru D względem osi ox i wzgędem osi oy
Mx=ƒƒyg(x,y)dxdy My=ƒƒxg(x,y)dxdy,współżędne środka ciężkości (xs,ys)obszaru D
Xs=My/m ys=ƒƒMx/m m=ƒDƒg dxdy=gƒDƒdxdy=gIDI
4.Całka po trójkącie-obszar całki jest trójkątem ograniczonym prostą y=2-2x i osiami OX i
OY czyli:
D ={a≤ y≤ b, ϕ(y) ≤ x≤ ψ(y)}
ƒDƒ F(x,y)dxdy =ƒabƒϕ(y)ϕ(y) f(x,y)dydx
ƒDƒ(3x-2xy)dxdy { 0≤x≤1 0≤y≤2-2x}
4.Całka potrójna i jej zastosowanie-objętości brył ,środki ciężkości. ƒƒƒdxdydz Ω{x=0 y=0
z=3 x+y=2 z=0}
5.Zamiana zmiennych w całce potrójnej-Rozważmy trójkę funkcji
x=φ(u,v,w)
y=ψ(u,v,w)
z=ρ(u,v,w)
które odwzorowuje pewien obszar V w przestrzeno zmiennych u,v,w w obszarze Ω.Jeżeli
różnym punktą obszaru V odpowiadają różne…
…≥ .... oraz lim an=0 to szereg naprzemienny jest zbieżny
•szereg zbiezny ∑an nazywamy bezwzględnie zbieżnym,jeżeli jest zbieżny szereg ∑ IanI
•szereg zbieżny ∑ an nazywamy warunkowo zbieżnym jeżeli szereg ∑ IanI jest rozbieżny.
12. Przedziały zbiezności szeregu potęgowego i promień zbierzności-Jeżeli szereg potęgowy
∑ an x4 jest zbieżny w przedziale (-R, R), R>0, a nie jest zbieżny w żadnym innym
przedziale (-R…
…<+∞ rozbieżny—(-R)--zbieżny--R---rozbieżny-->
3° R= +∞
---------zbieżny------> R=lim 1/√IanI
13.rodzaje zbieżności
•ciąg funkcyjny {f(x)}nazywamy jednostajnie zbieżnym w zbiorze x do funkcji granicznej
f(x) co zapisujemy fn(x)--->f(x) jeżeli ∀ ε>0 ∃xεX∀n>σ(ε) I fn(x)-f(n) I<ε
•szereg funkcyjny ∑fn(x) nazywamy zbieżnym w zbiorze x jeżeli ciąg jego sum zejśiowych
{Sn (x)} jest zbieżny w tym zbiorze do funkcji S…
... zobacz całą notatkę