W wyniku przecięcia powierzchni kulistej (sfery) płaszczyzna; otrzymujemy okrąg. Gdy środek sfery należy do tej płaszczyzny, to powstaje tzw. okrąg wielki (np. równik); w każdym innym przypadku otrzymujemy okrąg mały . Tw1 : Suma odpowiadających sobie boków i kątów trójkątów sferycznych wzajemnie biegunowych równa jest kątowi 180. Def1 : Dwa trójkąty sferyczne leżące na tej samej sferze są równe, jeżeli mają odpowiednie boki i odpowiednie kąty równe. Wnioski z reguły Nepera : 1) jeżeli w trójkącie prostokątnym obie przyprostokątne są jednorodne, to przeciwprostokątna jest mniejsza od 90, w przeciwnym przypadku jest większa od 90. 2) jeżeli kąty przyległe do przeciwprostokątnej są jednorodne, to przeciwprostokątna jest mniejsza od 90, w przeciwnym przypadku większa od 90 . 3) Przyprostokątna i kąt przeciwległy są elementami jednorodnymi. 4) jeżeli przeciwprostokątna i jedna z przyprostokątnych są jednorodne, to kat miedzy nimi zawarty jest ostry. W przeciwnym przypadku jest rozwarty. 5) przypadki rozwiązywania trójkątów prostokątnych: a) dane 2 przyprostokątne, b) dwa pozostałe kąty, c)przeciwprostokątna i przyprostokątna, d) przeciwprostokątna i kąt przyległy, e) przyprostokątna i kąt przeciwległy, f) przyprostokątna i kąt przyległy. Tw. 1 o wysokości trójkąta : Wysokość przecina bok trójkąta, jeżeli do tego boku przylegają kąty jednorodne, albo przecina jego przedłużenie, jeżeli przyległe do niego kąty nie są jednorodne, przy czym punkt przecięcia leży na przedłużeniu ortodromy poza punkt będący wierzchołkiem kąta rozwartego. Tw. 2 o wysokości trójkąta: Wysokość względem boku, do którego przylegają kąty rozwarte jest większa od każdego z dwóch pozostałych boków. Początkowy(końcowy) kąt drogi po ortodromie AB nazywamy kąt dodatni którego początkowym ramieniem jest część południka łącząca punkt A(B) z biegunem północnym N, a końcowym- ortodroma AB(przedłużenie ortodromy AB). Loksodroma -linia przecinająca wszystkie południki pod tym samym kątem. Punktami zwrotu nazywamy punkty ortodromy (bez początkowego i końcowego), które są końcami łukó loksodromy wpisanych w ortodromę. Biegunami danego okręgu wielkiego nazywamy końce średnicy prostopadłej do płaszczyzny tego okręgu. Teoretycznie każdy okrąg wielki ma dwa bieguny. Bieguny ortodromy to bieguny okręgu wielkiego, do którego ta ortodroma należy. Długość łuku ortodromy . Wystarczy znajomość promienia okręgu oraz miary łukowej kata środkowego, odpowiadającego temu łukowi. Okręgi wielkie na sferze mają ten sam promień więc długość
(…)
…,y) to nazywamy ją granicą literowaną
funkcji f(x,y) w punkcie P0(x0,y0) gdy najpierw y→y0, a następnie x→x0. Twierdzenie o
zachowaniu znaku. Jeśli funkcja f(x,y) jest ciągła w punkcie P0(x0,y0) oraz f(x0,y0)>0
(f(x0,y0)<0) to istnieje sąsiedztwo S punktu P0 takie, że dla każdego P.(x,y) є S f(x,y)>0
(f(x,y)<0). Granicę właściwą lim(∆x→0)[(f(x+∆x,y)-f(x,y)]/∆x nazywamy pochodną
cząstkową rzędu pierwszego funkcji f(x,y) względem zmiennej x w punkcie P(x,y) i
oznaczamy symbolem fx, ∂f/∂x, zx, ∂z/∂x, ∂f(x,y)/∂x. Granicę właściwą lim(∆y→0)
[(f(x,y+∆y)-f(x,y)]/∆y nazywamy pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji f(x,y)
względem zmiennej y w punkcie P(x,y) i oznaczamy symbolem fy, ∂f/∂y, zy, ∂z/∂y,
∂f(x,y)/∂y.
Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego pochodnych cząstkowych ∂f/∂x i ∂f/∂y nazywamy
pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego funkcji f(x,y) Mamy: fxx, fyy, fxy, fyz.
Twierdzenie Swarza: Jeżeli funkcja f(x,y) ma w pewnym obszarze D2⊂R ciągłe pochodne
cząstkowe mieszane rzędu drugiego ∂2f/∂x∂y, ∂2f/∂y∂x to w każdym punkcie obszaru D są
one sobie równe. Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego pochodnych cząstkowych rzędu n-
1 nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu n: ∂nf/∂xn, ∂nf/∂yn. Twierdzenie…
…(x0,y0)).
Warunek konieczny istnienia ekstremum: Jeżeli funkcja f(x,y) ma pochodne cząstkowe fx
i fy w punkcie P0(x0,y0) i ma w tym punkcie ekstremum to: fx(P0)=0 i fy(P0)=0.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum: Jeżeli funkcja f(x,y) jest klasy C2 w
pewnym otoczeniu Q punktu P0(x0,y0) oraz spełnia warunki : 1) fx(P0)=0 i fy(P0)=0; 2)
W(P0)=fxx(P0)*fyy(P0)-fyx(P0)*fxy(P0)>0, to funkcja f(x,y…
… wektorami.
wa*wb=wa*wbcosα. Iloczyn skalarny dwóch wektorów równa się sumie iloczynów
odpowiednich współrzędnych. Iloczynem wektorowym dwóch wektorów a i b nazywamy
wektor c, który: 1) jest prostopadły do wektora a i do wektora b, czyli do płaszczyzny
równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b. 2) długość wektora c równa się polu
równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b: wc=wa*wbsinα. 3…
… wektorami.
wa*wb=wa*wbcosα. Iloczyn skalarny dwóch wektorów równa się sumie iloczynów
odpowiednich współrzędnych. Iloczynem wektorowym dwóch wektorów a i b nazywamy
wektor c, który: 1) jest prostopadły do wektora a i do wektora b, czyli do płaszczyzny
równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b. 2) długość wektora c równa się polu
równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b: wc=wa*wbsinα. 3…
… o
przyroście funkcji: Jeżeli funkcja f(x,y) jest klasy C1 w pewnym otoczeniu Q punkt P.
(xo,yo) oraz(x0+∆x, yo+∆y)є Q to przyrost funkcji ∆f=f(x0+∆x, yo+∆y)-
f(x0,y0)=(∂f/∂y)*(x0,y0)*∆y+kp gdzie p.=√∆x2+∆y2, gdzie p→0, p→0.
Różniczką zupełną funkcji f(x,y) w punkcie P0(x0,y0) dla przyrostów ∆x i ∆y nazywamy
liczbę df(x0,y0)=fx(x0,y0)*∆x+fy(x0,y0)*∆y. Przyrosty ∆x i ∆y nazywamy różniczkami
zmiennych…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)