Matematyka, Egzamin z pierwszego semestru

1 . Ortodroma –  mniejszy z dwóch łuków okręgu  wielkiego, na jakie dzielą go punkty A i B. 2.  Trójkąt biegunowy  – względem trójkąta ABC  nazywamy ∆ A/B/C/ którego wierzchołkami są bieguny  boków ∆ ABC obranymi tak, że punkt A/ leży po tej  samej stronie płaszczyzny OBC co punkt A; punkt B/  po tej samej stronie płaszczyzny OAC co punkt B i  punkt C/ po tej samej stronie płaszczyzny OAB co  punkt C. 3.  Właściwości dla sprzężenia liczb zespolonych   z =x-jy ;  z1+z2=z1+z2 ; z1⋅ z1 = z1⋅z1 z1+ z1=2⋅rez1 ; z1- z1=2⋅j⋅imz1   z1∈R⇔z1=z1 z1 ⋅z1=z12 = z12 4.  Postać trygonometryczna liczby zespolonej z = z(cosϕ + jsinϕ)  gdzie: cosϕ=rez /z  sin ϕ=imz/z  5.  Mnożenie macierzy a) przez liczbę    α⋅A=A⋅α    0 ⋅ A = 0      α⋅ 0 = 0        α⋅(A+B) =α⋅A + α⋅B   b) macierz przez macierz nie jest przemienne ale  łączne           [−][] wiersz razy kolumna            A ⋅B ≠ B⋅ A           A⋅(B⋅C)= (A⋅B)⋅C 6.  Układ Cramerowski   A ⋅x = k  Jeżeli macierz k jest  macierzą zerową to układ równań nazywamy  jednorodnym. W przeciwnym wypadku układ równań  nazywamy niejednorodnym. Jeżeli liczba równań jest  taka sama jak liczba niewiadomych (m=n) i  wyznacznik macierzy układu jest niezerowy (detA ≠0)  to układ równań nazywamy układem Cramera. Każdy układ Cramera ma jednoznaczne rozwiązanie  dane wzorem           Xi = Wi / W   i = 1,2,3. .,n gdzie:                       a11 a12. .a1n                 W=detA =   a21 a22. .a2n                                   am1 am2. .amn zaś               a11 a12. .a1( i-1 )    b1 a1(i+1). .a1n  Wxi = Wi =   a21  a22               b2  a2(i+1). .a2n                     an1 an2. .an(i-1)     bn   a(i+1)   . .ann  jest wyznacznikiem niewiadomej Xi, otrzymanym z  wyznacznika W poprzez zastąpienie kolumny  współczynników przy niewiadomej Xi przez kolumnę  wyrazów wolnych. 7.  Iloczyn mieszany, do czego możemy go użyć Jest to iloczyn wektorowy dwóch wektorów āb¯  pomnożonych skalarnie przez trzeci wektor c.  Oznaczamy ā b¯c¯ = (a¯ ×b¯)c¯ Używamy go do przedstawiania odległości  równoległościanu zbudowanego na tych wektorach o  wspólnym początku 8.  Postać parametryczna równania prostej P ∈l⇔P0P‖k⇔P0P = t ⋅k     t – stała ∈R

(…)

… mieszany, do czego możemy go użyć
Jest to iloczyn wektorowy dwóch wektorów āb¯
pomnożonych skalarnie przez trzeci wektor c.
Oznaczamy ā b¯c¯ = (a¯×b¯)c¯
Używamy go do przedstawiania odległości
równoległościanu zbudowanego na tych wektorach o
wspólnym początku
8. Postać parametryczna równania prostej
P∈l⇔P0P‖k⇔P0P = t ⋅k t – stała ∈R
P0P⋅[x - x0 y – y0 z – z0] = t[a,b,c]
9. Pochodna kierunkowa, definicja, wzór rachunk.
Niech funkcja f(x,y) będzie określona w pewnym
otoczeniu Q punktami P0(x0,y0) niech P(x,y)∈Q oraz
S[cosα,cosβ] będzie wersorem wektora P0P
Granica właściwa
(df/ds)P0 =lim/p→p0 f(p) – f(p0) /P0P
nazywamy pochodną kierunkową funkcji f(x,y) w
punkcie P0 w kierunku wektora s
Wzór rachunkowy
(df / ds)P0 = df/dx(P0) cosα + df/dy(P0)cosβ
10. Algorytm na szukanie ekstremum funkcji…
… złożonej dla funkcji wielu
zmiennych
∂z/∂x = ∂f/∂u⋅∂u/∂x + ∂f/∂v⋅∂v/∂xz
∂z/∂y = ∂f/∂u⋅∂u/∂y + ∂f/∂v⋅∂v/∂y
17. Pochodna funkcji uwikłanej
y/ = - Fx(x,y) / Fy(x,y)
18. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych
Jeżeli funkcja f(x,y) jest klasy Cn w pewnym otoczeniu
Q punktu P0(x0,y0) oraz P(x0+dx , y0+dy)∈Q to istnieje
taka liczba θ∈(0,1) że
f(x0+dx,y0+dy) = f(x0,y0) + 1/1!! df (x0,y0)+1/2!d2 f(x0,y0…
... zobacz całą notatkę