1. O FUNKCJI STAŁEJ (Wniosek 41, r. 4, VI)
Niech P⊂R będzie przedziałem. Jeśli f: P→R jest funkcją różniczkowalną oraz f'(x)=0 dla x∈P, to f jest stała w P.
2. O FUNKCJACH RÓŻNIĄCYCH SIĘ STAŁĄ (Wniosek 42)
Niech P⊂R będzie przedziałem. Jeśli f, g: P→R są funkcjami różniczkowalnymi oraz f'(x)=g'(x) dla x∈P, to istnieje stała c∈R taka, że f(x)=g(x)+c dla x∈P.
3. O TOŻSAMOŚCIACH (Wniosek 43) Niech P⊂R będzie przedziałem x0∈P. Jeśli f, g: P→R są funkcjami różniczkowalnymi oraz f(x0)=g(x0) i f'(x)=g'(x) dla x∈P, to f(x)=g(x) dla x∈P.
4. O NIERÓWNOŚCIACH (Wniosek 44)
Niech P⊂R będzie przedziałem i x0∈P. Jeśli f, g: P→R są funkcjami różniczkowalnymi oraz f(x0) ≤ g(x0) i f'(x)≤ g'(x) dla xx0, x∈P to f(x)≤ g(x) dla x∈P. Ponadto, jeśli jedna z nierówności w założeniach jest ostra, to nierówność w tezie też jest ostra.
5. WZÓR TAYLORA Z RESZTĄ LAGRANGE'A (Tw.45, r.5) Niech f: (a, b)→R, x0∈(a, b) i h∈R będzie takie, ze x0+h∈(a, b). Jeśli f ma ciągłą pochodną rzędu n-1 w przedziale [x0, x0+h] i jest funkcją n-krotnie różniczkowalną w przedziale (x0, x0+h) to istnieje θ∈(0, 1) takie, że: f(x0+h)=f(x0)+[f'(x0)/1!]h+...+[f n-1(x0)/(n-1)!]h n-1+Rn(x0, h), gdzie Rn(x0, h)=[f n(x0+θh)/n!]hn.
6. WZÓR MACLAURINA (Uwaga 47)
Jeśli 0∈(a, b), to przyjmując we wzorze Taylora x0=0, h=x mamy: f(x)=f(0)+[f'(x)/1!]x+...+[f (n-1)(0)/(n-1)!]xn-1 +
[f (n) (θx)/n!]xn.
⇓
Rn(0, x) 7. SZEREG TAYLORA, SZEREG MACLAURINA (Def. 49) Szereg ∑∞n=1 [f (n) (x0)/n!](x-x0)n nazywamy szeregiem Taylora funkcji f w punkcie x0.
Jeśli 0∈(a, b) i x0=0, to szereg ∑∝n=0 [f (n) (0)/n!]xn nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f. 8. TW. TAYLORA (Tw.50) Jeśli f: (a, b)→R ma w otoczeniu Kx0 punktu x0∈(a, b) pochodne dowolnego rzędu i dla x∈Kx0 zachodzi warunek: limn→∞ Rn (x0, x-x0)=0, gdzie Rn jest resztą Lagrange'a ze wzoru Taylora, to szereg Taylora funkcji f w punkcie x0 jest zbieżny w otoczeniu Kx0 punktu x0 do funkcji f, tzn. f(x)=∑∞n=0 [f (n) (x0)/n!](x-x0)n= f(x0)+∑∞n=1[f (n) (x0)/n!](x-x0)n.
9. (Uw. 51)
Warunek limn→∞ Rn(x0, x-x0)=0 jest spełniony, gdy prawie wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone w otoczeniu punktu x0, tzn.: ∃M0∃n0∈N∃δ0∀n≥n0∀x∈(x0−δ, x0+δ)(f (n) (x0)≤M).
10. (Tw. 53, r. 6)
Niech g, f, f1, f2, ...: (a, b)→R. Jeśli wyrazy ciągu funkcyjnego (fn i n∈N) mają ciągłe pochodne fn, n∈N w przedziale (a, b) oraz ciąg funkcyjny (fn i n∈N) jest zbieżny punktowo do funkcji f w (a, b);
ciąg funkcyjny (f'
(…)
… ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem: X= B⋅A-1.
126. UKŁAD RÓWNAŃ LINIOWYCH (Def. 41)
Układem równań liniowych z n niewiadomymi x1, ..., xn, gdzie m, n∈N nazywamy każdy układ postaci:
a11 x1+ ...+ a1n xn= b1 (*){ ... ... ... ... ,
am1 x1+ …+ amn xn= bm gdzie aij∈R (lub C), b∈R (lub C), 1≤i≤m, 1≤j≤n. Układ ten można zapisać w postaci macierzowej: (*) A⋅X=B, gdzie:
a11 … a1n A∈Mmxndef= [ … … … ] macierz układu (współczynników),
am1… amm x1 X∈Mnx1def= [ ... ] macierz (kolumna) niewiadomych
xn b1 B∈Mnx1def= [ ... ] macierz (kolumna) wyrazów wolnych, bm a macierz:
a11... a1n b1 Udef= [ ................. ] ∈Mmx(n+1) am1… amn bm nazywamy macierzą uzupełnioną (rozszerzoną).
Układ równań liniowych (*) nazywamy jednorodnym, gdy b1= ...= bm= 0, tzn. B= θmx1.
Rozwiązaniem układu równań liniowych (*) nazywamy każdy ciąg (x1, ..., xn) liczb rzeczywistych (lub zespolonych) spełniających ten układ.
Układ równań, który nie ma rozwiązania nazywamy sprzecznym.
Układy równań nazywamy równaniami, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań.
127. UKŁAD CRAMERA (Def. 42) !!!
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych (**) A⋅X=B, w którym A jest macierzą nieosobliwą (tzn. kwadratową o niezerowym wyznaczniku). Jest to więc układ…
… liniowych a11 x1+ ...+ a1n xn= b1 (*){ ... ... ... ... am1 x1+ …+ amn xn= bm ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej, tzn. rz A= rz U, gdzie: a11 … a1n a11 … a1n b1 A= [ … … … ] , U=[ ................. ] . am1… amm am1… amn bn 134. (Tw. 53)
Załóżmy, że układ równań liniowych:
a11 x1+ ...+ a1n xn= b1 (*){ ... ... ... ... am1 x1+ …+ amn xn= bm ma rozwiązanie oraz:
a11 ... a1n rz A= rz [ ............. ]= r.
am1 ... amn Niech M≠0 będzie minorem stopnia r macierzy A. Usuńmy z układu (*) te równania, których współczynniki nie są elementami minora M. Wówczas otrzymany układ równań liniowych jest równoważny układowi (*).
135. (Tw. 54)
Niech macierz A układu równań:
a11 x1+ ...+ a1n xn= b1 (*){ ... ... ... ... ,
ar1 x1+ …+ arn xn= br ma rząd równy r, tzn…
… x0, f''(x0)=0.
23. WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA PUNKTU PRZEGIĘCIA (Tw. 72)
Jeśli funkcja f: (a, b)→R jest dwukrotnie różniczkowalna, f''(x0)=0 dla pewnego punktu x0∈(a, b), f'' jest ciągła w x0 oraz zmienia znak w otoczeniu punktu x0, to x0 jest punktem przegięcia funkcji f.
24. FUNKCJA PIERWOTNA (Def.1, r,1, VII)
Niech f: (a, b)→R (-∞≤a<b≤+∞). Każdą funkcję różniczkowalną F: (a, b)→R i taką, że F'(x)=f(x), x∈( a, b) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f w przedziale (a, b).
25. (Uw. 2)
(I) Jeśli funkcja F: (a, b)→R jest funkcją pierwotną funkcji f: (a, b)→R, to funkcja G: (a, b)→R określona wzorem G(x)=F(x)+C, x∈( a, b) (gdzie C jest stałą rzeczywistą) jest funkcją pierwotną funkcji f.
(II) Jeśli funkcje F, G: (a, b)→R są funkcjami pierwotnymi funkcji f: (a, b)→R, to istnieje stała rzeczywista C taka, że: G(x)=F(x)+C, x∈( a, b).
(III) Dowolna funkcja albo nie posiada funkcji pierwotnej, albo posiada ich całą rodzinę, której każde dwa elementy różnią się o stałą.
26. CAŁKA NIEOZNACZONA (Def. 4)
Jeśli funkcja f: (a, b)→R posiada funkcję pierwotną, to rodzinę wszystkich funkcji nazywamy całką nieoznaczoną z funkcji f i oznaczamy ∫f(x) dx, tzn, ∫f(x) dxdef={ F: (a, b)→R F jest różniczkowalnaF'=f}.
*Całka nieoznaczona- zbiór funkcji pierwotnych.
*∫f(x) dx=F(x)+C [F- dowolna funkcja pierwotna funkcji f, C- stała rzeczywista].
27. (Tw. 6)
(I) O RÓŻNICZKOWANIU CAŁKI
Jeśli funkcja f: (a, b)→R ma funkcję pierwotną, to: (∫f(x) dx)'=f(x), x∈( a, b).
(II) O CAŁKOWANIU POCHODNEJ
Jeśli funkcja f': (a, b)→R ma funkcję pierwotną, to: ∫f'(x) dx=f(x)+C, x∈( a, b).
28. WŁASNOŚCI CAŁKI NIEOZNACZONEJ…
… jeden nazywamy macierzą jednostkową stopnia n i oznaczamy In lub I
1 0
1
In= [ . . ] n- wierszy 0 . 1 ______________________ n- kolumn
109. (Def. 6)
Niech A=[aij]mxn, B=[bij]mxn oraz α∈R (lub C). Wówczs:
(I) αAdef=[αaij]mxn' (II) A+ Bdef=[aij+ bij]mxn,
(III) A- Bdef=A+(-B).
110. ILOCZYN MACIERZY (Def. 8)
Niech A= [aij]mxn, B= [bjk]nxp. Wówczas iloczynem A⋅B macierzy A, B nazywamy macierz C: C=[Cik]mxp…
… pomnożona przez stałą).
119. TWIERDZENIE CAUCHY'EGO (Tw. 32)
Jeśli A, B∈Mnxn, n∈N, to: det (A⋅B)= (det A)(det B).
120. MACIERZ NIEOSOBLIWA (Def. 33) Macierz kwadratowa A jest nieosobliwa, gdy det A≠0.
121. (Tw. 34)
Jeśli A jest macierzą kwadratową, to istnieje co najwyżej jedna macierz B taka, że: A⋅B= B⋅A=I.
122. MACIERZ ODWROTNA (Def. 35)
Jeśli da danej macierzy kwadratowej A istnieje macierz kwadratowa B spełniająca równanie A⋅B= B⋅A=I, to tę (jedyną) macierz B nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A i oznaczamy A-1.
123. (Uw. 36)
Macierz kwadratowa posiada macierz odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy jest nie osobliwa, tzn. o niezerowym wyznaczniku.
124. O POSTACI MACIERZY ODWROTNEJ (Tw. 37)
Jeśli A=[aij]nxn jest macierzą kwadratową nieosobliwą (tzn. det A≠0), to: Jeśli n=1, tzn. A=[a11], to A-1…
… oznaczają błędy bezwzględne pomiaru wielkości x, y. Wtedy błąd bezwzględny Δz obliczenia wielkości z wyraża się wzorem przybliżonym:
Δz= fx'(x, y)Δx+ fy'(x, y)Δy.
156. (Def. 42)
Niech D⊂Rn będzie zbiorem niepustym. Mówimy, że funkcja f: D→R ma w punkcie p0∈D min lokalne [max lokalne], gdy istnieje otoczenie K(p0, r)(r>0) takie, że: ∀p∈K(p0, r)∩D (f(p0)≤f(p)) [∀p∈K(p0, r)∩D (f(p0)≥f(p))].
157. WARUNEK…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)