Rachunek różniczkowy
funkcji jednej zmiennej
Definicja. Zał. że f : ( a, b ) →
, x0 ∈ (a, b ) . Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0
nazywamy odwzorowanie ϕ : ( a, b ) \ { x0 } →
określone równaniem ϕ ( x ) =
f (x ) − f (x0 )
.
x − x0
f ( x ) − f ( x0 )
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
= lim
nazywamy pochodną f w punkcie x0 ;
x → x0
x → x0
h →0
x − x0
h
f (x ) − f (x0 )
f (x0 + h ) − f (x0 )
f −′ ( x0 ) = lim−
= lim−
nazywamy pochodną lewostronną w punkcie x0 ;
x → x0
h →0
x − x0
h
f (x ) − f (x0 )
f (x0 + h ) − f (x0 )
f +′ ( x0 ) = lim+
= lim+
nazywamy pochodną prawostronną w punkcie x0 .
x → x0
h →0
x − x0
h
f ′( x0 ) = lim ϕ (x ) = lim
Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna x0 , gdy f ′( x ) istnieje i jest skończona.
Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna na (a, b ) , gdy ∀
x∈( a ,b )
f jest różniczkowalna w x0 .
Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna na [ a, b ] , gdy f jest różniczkowalna w x0 ∈ (a, b ) oraz
pochodne jednostronne w punktach a, b istnieją i są skończone.
Definicja. Zał. że f : ( a, b ) →
jest różniczkowalna. Funkcję, która każdemu punktowi x ∈ (a, b )
przyporządkowuje f ′( x ) nazywamy pochodną funkcji f .
Mówimy, że f : ( a, b ) → jest pochodną, jeśli istnieje F : ( a, b ) →
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f : ( a, b ) →
Twierdzenie. Jeżeli f , g : ( a, b ) →
taka, że ∀ f ( x ) = F ′( x ) .
x∈( a ,b )
jest różniczkowalna w x0 ∈ (a, b ) , to f jest ciągła w x 0 .
są różniczkowalne w x0 ∈ (a, b ) . Wtedy:
(1) h = f + g jest funkcją różniczkowalną w x0 i h′( x0 ) = f ′(x 0 ) + g ′( x0 ) ;
(2) h = f − g jest funkcją różniczkowalną w x0 i h′( x0 ) = f ′(x 0 ) − g ′( x0 ) ;
(3) h = f ⋅ g jest funkcją różniczkowalną w x0 i h ′( x0 ) = f ′( x0 ) ⋅ g ( x 0 ) + f (x 0 ) ⋅ g ′( x0 ) ;
f ′(x 0 ) ⋅ g ( x0 ) − f ( x0 ) ⋅ g ′( x0 )
f
.
(4) h =
i g ( x0 ) ≠ 0 jest funkcją różniczkowalną w x0 i h ′( x0 ) =
g
(g (x0 ))2
Twierdzenie. Funkcja f : ( a, b ) →
jest różniczkowalna w x 0 i f ′( x ) = c ⇔ istnieje ϕ : ( a, b ) →
taka, że ϕ ( x0 ) = 0 i ϕ jest ciągła w x0 oraz ∀ f ( x ) = f ( x0 ) + c ( x − x0 ) + ϕ ( x )( x − x0 ) .
x∈( a ,b )
Twierdzenie. Zał. że f : ( a, b ) →
, x0 ∈ (a, b ) , f (a, b ) ⊂ (c, d ) , g : ( c, d ) →
różniczkowalna w x 0 , a g w f ( x0 ) . Wtedy h = g
h′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ⋅ g ′ ( f ( x0 ) ) .
, f jest
f jest różniczkowalna w x 0 oraz
jest różnowartościowa, ciągła i różniczkowalna w x0 ∈ (a, b ) ,
′
−1
jest różniczkowalna w y 0 = f ( x 0 ) oraz f −1 ( y 0 ) = ( f ′(x 0 )) .
Twierdzenie. Zał. że f : ( a, b ) →
f ( x0 ) ≠ 0 . Wtedy f
−1
(
)
1
Definicja. Zał. że f : A → , x0 ∈ A . Wtedy:
(1) funkcja f posiada maksimum lokalne w x 0 , gdy ∃
∀
δ 0 x∈A∩( x0 −δ , x0 +δ )
(2) funkcja f ma ścisłe maksimum lokalne w x 0 , gdy ∃
f ( x ) ≤ f ( x0 ) ;
∀
δ 0 x∈A∩( x0 −δ , x0 +δ )\{x0 }
(3) funkcja f posiada minimum lokalne w x 0 , gdy ∃
∀
δ 0 x∈A∩( x0 −δ , x0 +δ )
(4) funkcja f ma ścisłe maksimum lokalne w x 0 , gdy ∃
f ( x ) 0 x∈A∩( x0 −δ ,
(…)
… się w szereg MacLaurina, to istnieje tylko jedno takie rozwinięcie.
jest różniczkowalna na (a, b ) oraz x0 ∈ (a, b ) i f ′ zmienia znak
Twierdzenie. Jeżeli f : ( a, b ) →
przechodząc przez x 0 , to f posiada ekstremum lokalne w x 0 .
Definicja. Zał. że f : ( a, b ) →
∈ C 2 , x0 ∈ ( a, b ) . Mówimy, że f ma punkt przegięcia w x0 , gdy ∃
δ >0
taka, że:
(1) na przedziale (x 0 − δ , x 0 ) f leży nad styczną…
… w x 0 ;
(3) jeżeli n = 2k + 1 i f ′( x0 ) dowolna, to f posiada punkt przegięcia w x 0 .
Twierdzenie. Zał. że f : ( a, b ) →
∈ C 2 , c ∈ ( a, b ) . Wtedy:
(1) jeżeli f ′′(c ) > 0 , to krzywa y = f ( x ) jest dla pewnego otoczenia punktu c położona powyżej
stycznej do tej krzywej w punkcie (c, f (c )) (a więc skierowana wypukłością w dół);
(2) jeżeli f ′′(c ) < 0 , to krzywa y = f ( x…
… )
, f : [ a, b ] →
oraz f n → f . Jeżeli ∀ f n′ jest funkcją ciągłą oraz ( f n′ )n jest jednostajnie zbieżny do g : [ a, b] →
n∈
(
,
)
′
to f jest różniczkowalna oraz ∀ f ′ ( x ) = g ( x ) lim f n = lim f n′ .
n →∞
n→∞
x∈[ a ,b ]
2
Wniosek. Zał. że f n : [ a, b ] →
jest różniczkowalna f n′ : [ a, b ] →
∞
∑ f ′ zbiega jednostajnie do u : [ a,b] →
n
n =1
n
są ciągłe oraz s ( n ) = ∑ f n ( x…
… ) . Wtedy
f ( n) ( a )
f ( n +1) ( c )
f ′(a)
n
n +1
∀
∃ f ( x) = f (a) +
( x − a) +…+
( x − a) +
( x − a) .
x∈(α , β ) c∈( a , x )
1!
n!
( n + 1)!
Pn ( x )
Rn to n-ta reszta Taylora w postaci Lagrange’a. Wtedy lim
x →a
R n ( x, a )
( x − a )n
Rn ( x , a )
= 0.
3
Jeżeli we wzorze Taylora podstawimy a = 0 to otrzymamy wzór MacLaurina
f ′′(0 ) 2
f (n ) n
′(0 )x +
f ( x ) = f (0 ) + f
x +…+
x + Rn (x,0) .
2!
n…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)