1. Określenie macierzy, postać kanoniczna (bazowa) macierzy.
Prostokątną tablicę liczb nazywamy macierzą o m wierszach i n kolumnach lub macierzą wymiaru m×n. Postać kanoniczna macierzy
2. Określenie macierzy, macierz diagonalna.
Macierz diagonalna - macierz kwadratowa, której wszystkie elementy leżące poza główną przekątną są zerami. Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej jest macierz skalarna, której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe. Macierz, której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1 nazywamy macierzą jednostkową, oznaczamy E.
3. Mnożenie macierzy, transponowanie macierzy.
Mnożenie macierzy - jeżeli liczba kolumn w macierzy A jest równa liczbie wierszy w macierzy B, to iloczynem A∙B macierzy Am×p przez macierz Bp×n nazywamy taką macierz Cm×n, której elementy są określone wzorem: cij = ai1bij + ai2b2j +…+ aipbpj
Macierzą transponowaną AT do macierzy A nazywamy macierz powstałą w wyniku zamiany wierszy na odpowiednie kolumny, czyli przez zastąpienie elementu aij elementem aji.
4. Macierz odwrotna i metody jej wyznaczania.
Macierz odwrotną A-1 do macierzy kwadratowej stopnia n nazywamy macierz, dla której prawdziwa jest równość: A-1∙A = A∙A-1 = E
Metody wyznaczania: metodą wyznaczników metodą operacji elementarnych B = [A|E]
5. Operacje elementarne na macierzach, macierze równoważne.
Operacją elementarną na macierzach nazywamy każde z następujących przekształceń:
przestawienie (zamiana miejscami) dwóch dowolnych wierszy (kolumn)
dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny), pomnożonych przez dowolną liczbę
pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez dowolną liczbę różną od zera
Macierzami równoważnymi nazywamy macierze A,B jeżeli macierz B powstaje z macierzy A za pomocą operacji elementarnych. Zapisujemy to tak: A~B
6. Definicja wyznacznika, obliczanie wyznacznika.
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [aij] stopnia n nazywamy liczbę |A| lub detA określoną następująco: detA = |a11| = a11 dla n = 1
dla n > 1
7. Określenie minora i dopełnienia algebraicznego.
Minorem (podwyznacznikiem) elementu aij macierzy kwadratowej A nazywamy wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny. Minor odpowiadający elementowi aij oznaczamy symbolem Mij.
Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy kwadratowej A nazywamy skalar Aij lub nazywamy określony wzorem: Aij = (-1)i+j Mij
8. Rozwiniecie Laplace'a.
Wartość wyznacznika macierzy kwadratowej A jest równa sumie iloczynów elementów pewnego wiersza pomnożonych przez dopełnienia algebraiczne tego wiersza, czyli: gdzie i oznacza numer dowolnie wybranego wiersza.
(…)
… z tej macierzy.
Wyznaczanie: metodą schodkową (rząd macierzy jest równy liczbie jej niezerowych wierszy), sprowadzanie macierzy do postaci kanonicznej za pomocą przekształceń elementarnych.
10. Układ równań liniowych, macierz rozszerzona (dołączona) układu.
Układem m równań liniowych o n niewiadomych x1, x2,…,xn nazywamy układ równań o postaci: gdzie aij, bj, i = 1,2,…,m j = 1,2,…,n są dowolnymi liczbami.
Macierzą rozszerzoną nazywamy macierz blokową A+ = [A|B], tzn. macierz: 11. Jednorodny układ równań liniowych, wyznaczenie jego rozwiązań.
Układ jednorodny to układ o postaci: ma rozwiązanie zerowe x1 = x2 = … = xn = 0
Metodą wyznaczania rozwiązania jest twierdzenie Kroneckera-Capellego, dla rzędu macierzy. Dla układu jednorodnego: R(A) = R(A+) taki układ ma co najmniej 1 rozwiązanie, przy czym dokładnie jedno rozwiązanie, i to zerowe, gdy R(A) = n. Układ n równań liniowych jednorodnych o n niewiadomych ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy gdy detA = 0
12. Klasyfikacja układów równań liniowych ze względu na liczbę rozwiązań.
zbiór pusty. Układ taki nazywamy układem sprzecznym
dokładnie 1 rozwiązanie. Układ taki nazywamy układem oznaczonym
nieskończenie wiele rozwiązań. Układ taki nazywamy układem nieoznaczonym
Układ równań, który posiada rozwiązanie, nazywamy układem zgodnym.
13. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy układu A jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej A+=[A|B].
R(A)=R(A+)=r n-liczba niewiadomych
r=n -> 1 rozwiązanie
r<n -> nieskończenie wiele rozwiązań
r>n -> brak rozwiązań
14. Metoda eliminacji Gaussa rozwiązywania…
…. Pojęcie funkcji, funkcja parzysta i nieparzysta
Parzysta: (f = f( )),
Nieparzysta: (f(- ) = -f( )),
22. Pojęcie funkcji, funkcja odwrotna i różnowartościowa
Jeżeli:
f : X Y
jest odwzorowaniem różnowartościowym, to odwzorowanie:
g : Y X,
takie że:
= = nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do f.
Jednocześnie zauważmy, że w przypadku, gdy g jest odwzorowaniem odwrotnym do f, to również i f jest odwzorowaniem…
… lub e, to funkcję te oznaczamy odpowiednio log lub ln.
Funkcja logarytmiczna logax jest funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej ax. Wykresem funkcji logarytmicznej jest krzywa logarytmiczna.
Własności:
Dziedzina funkcji logarytmicznej jest R+
Zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór R. Funkcja logarytmiczna jest funkcją ciągłą. Funkcja logarytmiczna jest funkcją rosnącą jeśli a>1. Funkcja logarytmiczna jest funkcją malejącą jeśli 0< a<Funkcja logarytmiczna jest funkcją różnowartościową.
Wykres funkcji logarytmicznej przecina oś 0x w punkcie (1,0). Asymptotą wykresu funkcji logarytmicznej jest oś rzędnych
30. Funkcja trygonometryczna - przykłady Krzywe, będące wykresami funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens nazywa się odpowiednio: sinusoidą, cosinusoidą (kosinusoidą), tangensoidą…
… porównawcze.
Jeżeli ∑an ≤ ∑bn, to prawdziwe są następujące implikacje:
jeżeli ∑bn jest zbieżny, to ∑an jest zbieżny.
Jeżeli ∑an jest rozbieżny, to ∑bn jest rozbieżny. 42. Granica funkcji jednej zmiennej.
Def Heinego: mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 granice właściwą równą g wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu punktów zbieżnego do x0 odpowiadający mu ciąg wartości funkcji jest zbieżny do g.
Def…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)