MATEMATYKA WYKŁADY
prof. dr hab. Bronisław Ceranka
Literatura:
1. Krysicki, Włodarski „Analiza matematyczna w zadaniach” część 1 i 2.
2. Antoniewicz, Misztal „Matematyka dla studentów ekonomii”.
3. Klepacz „Matematyka zbiór zadań z rozwiązaniami dla studentów uczelni ekonomicznych”.
4. Ostoja - Ostaszewski „Matematyka w ekonomii” część 1 i 2.
5. Kryński „Zastosowanie matematyki w ekonomii”.
6. Banaszak, Gajda „Elementy algebry liniowej”.
Funkcje jednej zmiennej.
A - mówimy, że w zbiorze A jest określona pewna funkcja f jednej zmiennej, jeżeli każde x małe należące do zbioru A jest przyporządkowane dokładnie jednej liczbie y należącej do zbioru B. Przyporządkowanie to można zapisać:
A f x ε A y ε B y=f(x)
x - argument funkcji, zmienna niezależna y - zmienna zależna
Określoną liczbą X0 nazywamy wartość argumentu albo wartością zmiennej niezależnej x. Jej przyporządkowaną wartość 0 nazywamy wartością funkcji f w punkcie X0.
A - dziedzina funkcji, to zbiór tych wszystkich wartości x dla których działania we wzorze określających funkcję są wykonalne.
B - zakres funkcji, przeciwdziedzina.
Wykresem funkcji f nazywamy zbiór punktów M na płaszczyźnie, których odciętymi są liczby należące do zbioru A, a rzędnymi przyporządkowane im wartości funkcji. Z określonej funkcji wynika, że każda prosta równoległa do osi rzędnych ma co najwyżej jeden punkt wspólny z wykresem funkcji. Prosta równoległa do osi odciętych może mieć z wykresem funkcji więcej niż jeden punkt wspólny.
Funkcja może być określona słownie, analitycznie (wzór), graficznie, tabelarycznie.
Monotoniczność funkcji, funkcje monotoniczne (ścisła monotoniczność):
y = f(x) funkcja z dziedziną zbioru A.
1. Rosnąca X1, X2 ε A, X1 f(X2)
4. Nierosnąca X1,X2 ε A, X1 przy czym wartość funkcji w punkcie B jest równa 0 f(b) = d to funkcja odwrotna x = g(y) jest określona i rosnąca (malejąca) w przedziale .
(…)
…) jest ściśle monotoniczna i ciągła w każdym punkcie (m, M). Funkcja ciągła <a, b> przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między swoją wartością najmniejszą a największą. Ciągłość najmniejsza funkcji:
Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach.
Funkcja stała i funkcja liniowa jest ciągła w każdym punkcie.
Funkcja schodkowa jest ciągła poza punktem w, którym zmniejsza swoją wartość.
Funkcja łamana…
…), jeżeli dla każdego punktu tego przedziału styczna do tej krzywej poprowadzona w danym punkcie leży nad tą krzywą.
Funkcje elementarne:
Zaliczamy do nich funkcje stałe, liniowe, schodkowe, łamane, wielomiany, wymierne, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, cyklometryczne. Funkcję y = f(x) nazywamy stałą gdy f(x) = C, x ε A, funkcję y = ax + b, nazywamy funkcją liniową, gdy X0 ≤ X1 ≤ X2 ≤ … ≤ Xk,
gdy funkcja y = f(x) jest funkcją stałą (X1, X2), i = 1, 2, … k, to nazywamy ją funkcją schodkową,
gdy funkcja y = f(x) jest funkcją liniową (X1, X2), to nazywamy ją funkcją łamaną, [Xi, f(Xi)] to tzw. węzły od funkcji łamanej.
Wielomiany:
Wyrażenie y = a1xn + an - 1xn - 1+…+ a1x + a0, gdzie n - liczba naturalna, a0, a1,…, an ε R an ≠ o nazywamy wielomianem stopnia n.
Funkcja wymierna:
Funkcję y = f(x) nazywamy wymierną gdy f(x…
…) na przedziale <a, b> nazywamy pochodną w każdym punkcie wewnątrz (a, b) oraz pochodną lewostronną w punkcie b i prawostronną w punkcie a. Funkcja, która posiada pochodną w, każdym punkcie przedziału, mówimy, że jest różniczkowalna na tym przedziale i oznaczamy f`(x). Pochodną funkcji stałej jest 0, y = c, y`= 0. Pochodna iloczynu funkcji przez stałą jest równa iloczynowi tej stałej przez pochodną funkcji y…
… wiele rozwiązań.
Zadania:
Układ równań liniowych o n niewiadomych:
Wzory Cramera.
Układ n równań liniowych o n niewiadomych ma postać:
Ze współczynników przy niewiadomych budujemy wyznacznik głównego układu.
W = Następnie z wyznaczników W, tworzymy n wyznaczniki W1, W2,…, Wn. Stosując odpowiednio kolejno pierwszą, drugą itd. ostatnią jego kolumnę przez kolumnę wyrazów wolnych.
W1= , W2 = , … , Wn = 1. W ≠ 0…
… A ze współczynnikiem przy niewiadomej U = [A, B].
Twierdzenie Kronekera - Capelliego:
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby układ równań liniowych Ax = b był niesprzeczny, jest równość macierzy rzędu A oraz U. r (A) = r (U). Z twierdzenia wynikają wnioski:
1. Jeżeli rząd macierzy r (A) < r (U) to układ nie ma rozwiązania.
2. Jeżeli rząd macierzy r (A) = r (U) = n, to układ równań ma dokładnie…
… nie jest wyznaczona jednoznacznie. Do danej macierzy A, istnieje wiele uogólnionych macierzy odwrotnych A-. Pojęcie uogólnionej macierzy odwrotnej można wykorzystać do rozwiązywania w jednolity sposób układu równań liniowych. Ax = 0 układ ten jest zawsze niesprzeczny. Ogólne rozwiązanie tego układu możemy zapisać X = (A A- - I)y, gdzie y jest dowolnym wektorem.
Ax = b
Jeżeli ten układ jest niesprzeczny to ogólne…
…:
Funkcja sgnx (znak) określona jest wzorem, { - 1 dla x < 0
{ 0 dla x = 0
{ 1 dla x > 0
Granica funkcji:
Niech funkcja y = f(x) będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu X0 tzn. w przedziale funkcji y = f(x) X0 z ewentualnym wyłączeniem samego punktu X0 (X0 - a, X0 + a), a > 0, tzn. , że wartość funkcji w punkcie może nie istnieć. Granica funkcji, y = f(x) w punkcie X0 istnieje jeżeli, E > 0, δ > 0 to x 0 < |x - X0|f(x) - g|< E. Wtedy granica funkcji lim f(x) = g.
X X0
Funkcja y = f(x) posiada w punkcie X0 co najwyżej jedną granicę. Funkcje f(x) i g(x) mają granicę w punkcie X0, oraz a > 0, a funkcja f(x) ≤ g(x) dla wszystkich x, 0 < |X - X0|< a, to granica lim f(x) ≤ lim g(x).
XX0 XX0
Twierdzenie o trzech funkcjach:
Funkcje f(x) i g(x) mają te same granice g w punkcie X0, oraz istnieje…
… trójkątną górną.
Pojęcie macierzy diagonalnej:
Macierz kwadratowa stopnia „n” której wszystkie elementy nie stojące na głównej przekątnej = 0, nazywamy macierzą diagonalną.
Pojęcie macierzy jednostkowej:
Macierz diagonalna stopnia „n” której wszystkie elementy głównej przekątnej są równe 1 nazywa się macierzą jednostkową stopnia „n”. In = Pojęcie macierzy blokowej:
Macierz którą utworzono z macierzy Aij…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)